28. METODE APROKSIMASI

3.1 Teori gangguan

Jika sebuah persamaan sangat sulit untuk dipecahkan secara langsung, solusi sebenarnya dapat dicari melalui solusi aproksimasi dari sebuah persamaan yang disederhanakan dengan kondisi bahwa solusi aproksimasi itu diketahui atau dapat dengan mudah diperoleh. Cara yang demikian itu, berdasarkan teori gangguan, sering digunakan untuk perhitungan-perhitungan dalam teori kuantum. Teori gangguan diterapkan pada banyak masalah untuk memperkirakan perubahan tingkat-tingkat dan fungsi gelombang yang berhubungan dengan tambahan variasi yang disebabkan oleh interaksi antar partikel dan juga medan listrik atau magnet.

3.1.1 Teori gangguan

Pada persamaan-persamaan dalam mekanika kuantum, suku tambahan Ĥ‘ yang terdapat dalam operator Hamiltonian Ĥ disebut sebagai sebuah gangguan. Sebuah sistem tanpa gangguan disebut sebagai sistem yang tidak terganggu. Dengan mengasumsikan bahwa solusi {Ei0, Ψi0} dari persamaan eigen Ĥ0Ψ0 = EiΨ0 untuk Hamiltonian yang tidak terganggu Ĥ0 = ĤĤ‘ diketahui, marilah kita mencari untuk memperoleh solusi {En, Ψn} dari persamaan eigen ĤΨ = EΨ untuk Hamiltonian yang terdapat gangguan Ĥ = Ĥ0 + Ĥ‘.

Pertama, marilah kita memperkenalkan sebuah gangguan Ĥ‘ = λ dengan parameter λ yang mengindikasikan besarnya gangguan. Berikutnya kita melakukan ekspansi terhadap Ψn ke dalam suku-suku dari fungsi gelombang yang merupakan solusi sistem yang tidak terganggu {Ψi0}.

(3.1)

Dengan memasukkan Ĥ = Ĥ0 + λ ke dalam persamaan eigen Ĥ, diikuti dengan menggunakan persamaan yang telah diekspansi untuk Ψn dan persamaan eigen untuk Ĥ0, akan menghasilkan

(3.2)

Perlu dicatat bahwa sebuah sistem ortonormal dapat digunakan secara umum untuk {Ψi0}, dengan melakukan perkalian pada sisi sebelah kiri dengan Ψi0* dan kemudian melakukan proses integrasi akan memberikan persamaan berikut.

(3.3)

Vji adalah sebuah integral untuk seluruh koordinat yang direpresentasikan oleh q, yang diberikan oleh persamaan berikut.

(3.4)

Kuantitas Vji dapat dihitung ketika {Ψi0} dan juga operator yang merepresentasikan gangguan diberikan. λji dituliskan sebagai Ĥji‘ dan disebut sebagai elemen matriks ji dari gangguan.

(3.5)

Persamaan ini akan kemudian akan digunakan untuk merumuskan teori gangguan.

Persamaan (3.3) adalah sebuah persamaan untuk memperoleh nilai eigen energi En dan {cin} yang akan menentukan fungsi gelombang Ψn. Dalam usaha untuk memecahkan persamaan ini sedekat mungkin, marilah kita melakukan ekspansi pada cin dan En ke dalam deret pangkat dari λ

(3.6)

(3.7)

Ketika En tidak memiliki degenerasi, kita memperoleh cin = δin (1 untuk i = n, 0 untuk i>i = n), karena untuk λ → 0 , ΨnΨn0 berkaitan dengan EnEn0. Karenanya, suku pertama dalam ekspansi berkaitan dengan sistem yang tidak terganggu dan suku kedua adalah koreksi terhadap gangguan dengan memasukkan ekspansi di atas, yaitu persamaan (3.6) (3.7) ke dalam persamaan (3.3), diikuti dengan mengatur suku dengan pangkat lebih rendah dari λ dari kiri, kita memperoleh

(3.8)

Dengan mengabaikan suku kedua dan suku yang memiliki pangkat lebih tinggi, kita memperoleh hasil sebagai berikut untuk orde pertama dari koreksi terhadap energi.

(3.9)

Hal ini akan memberikan rumus untuk energi pada orde pertama dari gangguan dan diberikan oleh

(3.10)

Persamaan terakhir memberikan indikasi bahwa nilai ekspektasi dari operator Hamiltonian yang mengandung gangguan dalam fungsi gelombang yang tidak terganggu Ψn0 akan menghasilkan energi pada orde pertama dari gangguan.

Dengan meninjau kontribusi kedua dari λ kita akan memperoleh persamaan berikut.

(3.11)

Dari suku orde pertama dari λ dalam persamaan (3.3) dan dengan memasukkan persamaan yang sudah terekspansi, cin‘(1 ≠ n) dapat ditulis sebagai berikut.

(3.12)

Dengan menggunakan persamaan ini pada persamaan (3.11) kita menuliskan

(3.13)

Dengan menggunakan hasil-hasil di atas, kita akan mendapatkan rumus-rumus berikut untuk aproksimasi dari {Enn} hingga ke gangguan orde kedua.

(3.14)

(3.15)

Contoh 3.1 Buktikan bahwa koreksi gangguan orde kedua pada energi yang disebabkan oleh keadaan energi yang lebih rendah selalu positif, sementara untuk yang disebabkan oleh keadaan energi yang lebih tinggi selalu negatif. Harus dicatat bahwa Ĥni‘ = Ĥni‘*, di mana * menyatakan kompleks konjugat (persamaan (1.37)).

(Jawaban) Koreksi gangguan orde kedua untuk energi keadaan ke-n dinyatakan oleh

Dengan menggunakan Ĥni‘ = Ĥni‘* dan mencatat bahwa [Ĥni‘]2 > 0, kita akan memperoleh

Ini berarti bahwa pembilang dalam ekspresi untuk En(2) akan selalu positif. Ini akan memberikan kondisi bahwa kontribusi-kontribusi yang disebabkan oleh keadaan energi yang lebih rendah i(Ei‘ < En0) adalah selalu positif.

Juga, kontribusi-kontribusi yang diberikan oleh keadaan-keadaan energi yang lebih tinggi i(Ei‘ > En0) selalu negatif.

3.1.2 Teori gangguan untuk keadaan terdegenerasi

Sekarang marilah kita meninjau sebuah sistem dengan degenerasi lipat-f dalam energi E0. Keadaan-keadaan terdegenerasi diberi nomor dari 1 hingga f dan energi-energi dari keadaan terdegenerasi ini ditulis dengan E01 = E02 = … = E0f. Untuk setiap keadaan yang lain, sebuah nomor n yang lebih besar dari f digunakan. Untuk tingkat-tingkat energi n > f, {Enn} diperoleh dengan menggunakan metoda yang telah dipelajari sebelumnya. Tingkat-tingkat energi dari 1 hingga f harus diperlakukan secara berbeda, dengan mencatat bahwa En → En0 dan Ψn cin0Ψi0, berkaitan dengan λ → 0. Dengan memasukkan persamaan (3.6) dan (3.7) ke dalam persamaan (3.3), diikuti dengan pengabaian suku-suku orde yang lebih tinggi dibandingkan dengan orde kedua dari λ , akan memberikan hasil berikut berupa sebuah himpunan persamaan-persamaan yang simultan.

(3.16)

di mana j dan n adalah bilangan sembarang dari 1 dan f.

Menurut aljabar linier, syarat perlu dan cukup untuk keberadaan solusi yang tidak trivial selain dari seluruh {cin0} yang sama dengan nol adalah determinan dari matriks dengan elemen ji yang berkaitan dengan faktor yang ada dalam tanda kurung ( ) dalam persamaan (3.16) dan determinan tersebut harus sama dengan nol.

Dengan memecahkan persamaan aljabar dengan orde f terhadap En‘, f buah solusi untuk E1‘, En‘,…, Ef‘ dapat diperoleh. Dengan demikian, tingkat energi yang bergeser akibat gangguan dapat ditentukan sebagai berikut.

(3.18)

{cin0} juga dapat diperoleh dari solusi persamaan-persamaan simultan (3.16), dengan cara yaitu sebuah nilai dari {En‘} dalam persamaan (3.17) dimasukkan ke dalam En‘ yang berada dalam ( ). Harus dicatat bahwa persamaan berikut adalah untuk keadaan ternormalisasi dari {Ψn}.

(3.19)

3.1.3 Perubahan keadaan oleh gangguan

Perubahan tingkat energi yang disebabkan oleh aksi tambahan dapat diamati sebagai perubahan pada spektra untuk transisi yang berkaitan dengan tingkat-tingkat tersebut. Kita akan melihat contoh-contoh tipikal di bawah ini.

[Efek Zeeman]

Ketika medan magnet diberikan, keadaan-keadaan doblet atau triplet dapat terpisah pada tingkat energi yang terdegenerasi. Fenomena pemisahan garis spektra oleh medan magnet disebut sebagai efek Zeeman. Lebar pemisahan pada garis spektra bergantung pada kekuatan medan magnetik yang diberikan. Gambar 3.1 menunjukkan sebuah contoh efek Zeeman pada transisi 1D21P1 yang memberikan emisi warna merah (6438.47 Å ) pada atom cadmium. Satu garis pada kondisi tanpa medan akan terpisah menjadi tiga garis di bawah pengaruh medan magnet.

Gambar 3.1 Sebuah contoh dari efek Zeeman. Pemisahan suku spektral di bawah pengaruh sebuah medan magnetik.

[Efek Stark]

Spektra emisi dari sebuah atom hidrogen dalam sebuah medan listrik yang kuat akan mengakibatkan pemisahan garis spektra. Pemisahan garis-garis spektral dalam pengaruh medan listrik disebut sebagai efek Stark. Efek Stark diamati dalam kasus-kasus sebagai berikut.

(1) Setidaknya satu dari tingkat-tingkat energi berkaitan dengan transisi dalam keadaan terdegenerasi dan degenerasinya ditingkatkan oleh pengaruh medan listrik.

(2) Molekul polar dengan orientasi yang berbeda-beda dapat memiliki energi yang berbeda-beda dalam medan listrik yang kuat dan energi transisi juga dapat dimodifikasi bergantung pada orientasi molekul.

Efek Stark yang kedua tidak memerlukan degenerasi pada tingkat-tingkat energinya. Lebar pemisahan pada efek Stark bergantung pada kekuatan medan listrik.

[Pemisahan tingkat-tingkat d]

Tingkat-tingkat pada elektron d dalam sebuah atom atau ionnya (M) menunjukkan berbagai variasi pada bentuk-bentuk pemisahan di bawah pengaruh medan ligan-ligan (L) yang berada di sekelilingnya (medan ligan atau medan kristal) dan ini bergantung pada simetri dan kekuatan medan (Gambar 3.2). Perubahan warna yang beragam pada ion-ion logam transisi dan senyawa-senyawanya sangat berkaitan dengan variasi dari pola pemisahan pada tingkat-tingkat d.

Gambar 3.2 Pemisahan medan ligan pada tingkat-tingkat energi d. M: logam pusat, L: ligan.

[Efek kopling spin-orbit]

Sebagaimana telah dipelajari dalam bagian 2.7, tingkat-tingkat dengan L dan S yang sama adalah berada dalam keadaan terdegenerasi ketika kopling spin orbit dapat diabaikan. Jika spin-orbit kopling sangat berarti dan tidak dapat diabaikan, khususnya untuk atom-atom dengan bilangan atom yang besar di mana efek relativistik tidak dapat diabaikan degenerasi diangkat untuk memberikan pemisahan garis-garis spektral. Keadaan multiplet seperti pada doblet dan triplet dapat diamati sebagai pemisahan keadaan tanpa pengaruh medan luar dan fenomena yang demikian itu disebut pemisahan dalam medan nol dan berlawanan dengan efek Zeeman.

[Probabilitas transisi dan aturan seleksi spektral]

Disamping contoh-contoh di atas, variasi yang cepat seperti pada pengaruh yang disebabkan oleh medan elektromagnetik, juga dapat diperlakukan sebagai gangguan. Karena sistem dalam pengaruh medan elektromagnetik tidak berada dalam keadaan stasioner maka perlakuan teoritis untuk keadaan tidak stasioner perlu dibuat. Meskipun detilnya tidak diberikan dalam buku ini, perluasan teori gangguan pada keadaan tidak stasioner memungkinkan kita untuk menghitung probabilitas transisi antara keadaan-keadaan stasioner. Melihat pada probabilitas transisi, kita menemukan bahwa transisi-transisi tidak terjadi antara setiap pasangan keadaan. Terdapat aturan yang pasti yang akan memberikan kondisi bahwa suatu transisi mungkin terjadi dan transisi yang terlarang.

Sebagai contoh, aturan seleksi berikut telah diketahui dengan baik sebagai kondisi untuk mengamati cahaya yang diserap atau yang dipancarkan oleh atom.

(3.20)

Pengecualiannya, ΔL = 0 harus diabaikan antara sebuah pasangan keadaan dengan L = 0, dan juga ΔJ = 0 harus diabaikan antara sebuah pasangan keadaan dengan J = 0. Ketika transisi tidak memenuhi kondisi pada persamaan (3.20), garis spektra yang berkaitan tidak dapat diamati atau muncul dengan intensitas yang sangat rendah, jika ia dapat diamati. Aturan terakhir ΔS = 0 , melarang transisi antar tingkat-tingkat dengan multiplisitas spin yang berbeda dan akan kurang efektif dengan meningkatnya bilangan atom karena kopling spin orbit menjadi sangat kuat untuk atom-atom berat.

Sebagaimana dapat dilihat pada Gambar 3.1, di antara seluruh transisi antara sub-tingkat yang terpisah yang disebabkan oleh perbedaan nilai MJ, transisi dengan ΔMJ = 0 atau ± 1 saja yang diperbolehkan.
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

3.2 Metoda variasi

Disamping teori gangguan yang telah dipelajari pada bagian sebelumnya, pendekatan yang lain yang disebut sebagai metoda variasi telah lama digunakan untuk menerapkan mekanika kuantum ke dalam berbagai masalah. Khususnya dalam tahun-tahun terakhir, perkembangan komputer modern telah memfasilitasi penggunaan yang berharga dari metoda perhitungan yang didasarkan pada metoda variasi. Dalam bagian ini kita akan mempelajari metoda variasi. Sekarang, kita memulainya dengan prinsip variasi.

3.2.1 Prinsip variasi

Sebuah nilai ekspektasi percobaan dengan sebuah fungsi sembarang Φ diperkenalkan oleh persamaan berikut.

(3.21)

Nilai ε[Φ] yang bergantung pada pilihan dari Φ tidak lah lebih kecil dari nilai eingen terendah E0 untuk persamaan eigen ĤΨ = EΨ .

(3.22)

Kesamaan dari rumus ini hanya berlaku untuk sebuah kasus khusus di mana ε[Φ] adalah sebuah fungsi eigen yang berkaitan dengan E0. Rumus ini yaitu persamaan (3.22) disebut sebagai prinsip variasi.

[Bukti]

Φ dapat diekspansikan dalam suku-suku dari fungsi eigen {Ψi} untuk Ĥ sebagai Φ = sigmaton ciΨi. Perhitungan ε[Φ]-E0 dengan cara melakukan mengekspansi Φ, menggunakan ĤΨi = EiΨi dan juga memperhatikan sifat normalitas dari {Ψi}, kita akan mendapatkan

Ketidaksamaan yang terakhir diturunkan dari hal-hal berikut; Eo adalah nilai eigen terendah dan sebuah nilai absolut yang tidak dapat menjadi negatif. Karena {Ψi} tidak dapat menjadi nol untuk seluruh kasus yang mungkin dari variabel-varibelnya, kesamaannya memerlukan ci = 0 untuk seluruh {Ψi} dengan energi yang dimiliki Ei lebih besar dari E0. Ini akan menghasilkan kesimpulan bahwa sebuah nilai yang tidak nol untuk koefisien ci dalam ekspansi Φ dalam suku-suku {Ψ} hanya diijinkan jika Ei = E0. Hanya dalam kasus ini ĤΨ = E0Ψ dapat dipenuhi, dan Φ menjadi fungsi eigen yang berkaitan dengan nilai eigen E0. Dengan kondisi yang sama, jika Φ adalah sebuah fungsi eigen dari E0 memenuhi ĤΨ = E0Ψ, penyebut dari persamaan (3.21) menjadi ∫Φ*E0Φdq = E∫Φ*Φdq, dan akan memberikan ε[Φ] = E0. Karenanya kesamaan akan berlaku hanya jika ĤΨ = E0Ψ, dalam kasus di mana Φ adalah fungsi eigen degan nilai eigen terendah E0.

Prinsip variasi memberikan sebuah petunjuk untuk mendapatkan fungsi gelombang dan nilai eigen untuk keadaan dasar. Untuk maksud ini, Φ harus ditentukan sedemikian rupa hingga nilai ε[Φ] dengan menggunakan Φ dapat menjadi minimum . Resultan Φ adalah fungsi eigen dari nilai eigen terendah E0, yang juga fungsi gelombang dari keadaan dasar. Ini akan memberikan kesimpulan bahwa Φ ini akan menghasilkan ε[Φ] yang berkaitan dengan keadaan dasar dengan nilai energi E0.

3.2.2 Metoda variasi dengan menggunakan sebuah pendekatan kombinasi linier (Metoda variasi Ritz)

Sangat sulit untuk menemukan Φ dengan meminimalisasi ε[Φ] dengan dasar prinsip variasi di atas. Untuk berbagai fungsi-fungsi Φ12, Φ3,…, kita perlu untuk menghitung nilai masing-masing dari ε[Φi], dan kita harus menemukan sebuah fungsi yang memberikan nilai minimum. Akan tetapi tidaklah mungkin untuk melakukan tes pada seluruh fungsi. Bahkan jika beberapa kombinasi dari E dan Ψ memenuhi ĤΨ = EΨ, nilai eigen terendah di antara semuanya tidak perlu merupakan nilai eigen minimum yang sebenarnya. Karenanya sebuah kompromi dengan beberapa kali percobaan akan memberikan beberapa kali pengulangan dan dapat memberikan hasil yang tidak sukses kecuali jika pilihan yang beruntung dapat dilakukan.

Sekarang kita mencoba untuk melakukan tes pada fungsi-fungsi yang lebih luas secara lebih efisien. Sebuah kombinasi linier dari n buah fungsi-fungsi Φ1, Φ2, Φ3,…, Φn

(3.23)

dapat digunakan untuk melakukan tes dalam jumlah yang terbatas dari fungsi coba yang diekspresikan oleh persamaan (3.23), dengan menyatakan bahwa koefisien ekspansi {ci} sebagai variabel yang dapat dirubah dan secara terus-menerus dilakukan variasi. Meskipun terdapat batasan yang dikarenakan oleh pilihan dari {Φi}, kita dapat memperoleh hasil yang terbaik untuk tes seluruh kombinasi linier yang sembarang dari {Φi} sebagaimana juga tes dengan masing-masing fungsi dari Φ1 hingga Φn. Dalam cara ini, prinsip variasi digunakan untuk menentukan deret dari {ci} sedemikian rupa sehingga {ci} dapat menuju pada ε[Φ] yang minimum. Prosedur ini disebut sebagai metoda variasi dengan menggunakan pendekatan kombinasi linier (metoda variasi Ritz)

Dengan memasukkan persamaan (3.23) ke dalam definisi dari ε[Φ] akan menghasilkan persamaan berikut.

(3.24)

Dalam ekspresi ini penjumlahan untuk i dan j harus diambil dari 1 hingga n. Hij dan Sij adalah elemen dari matriks n x n dan didefinisikan dengan integral berikut.

(3.25)

(3.26)

Sij disebut sebagai integral tumpang tindih (overlap) antara Φi dan Φj.

Berdasarkan prinsip variasi , ε[Φ] harus dapat diminimalisasi dengan merubah {ci}, yang merupakan koefisien yang diperkenalkan dalam definisi tentang Φ. Karena ci dan c*i adalah kompleks konjugat satu dengan yang lainnya, kita mungkin mengambil satu dari mereka sebagai sebuah variabel independen. Karenanya, kita akan mendapatkan kondisi untuk ∂ε/∂c*i = 0. Untuk kemudahan, kita dapat menulis ulang persamaan (3.24) sebagai

(3.27)

Diferensiasi pada kedua sisi dari persamaan ini terhadap c*i akan memberikan

(3.28)

Dengan menggunakan kondisi ∂ε/∂c*i = 0, kita mendapatkan

(3.29)

Ekspresi ini adalah sebuah himpunan dari persamaan simultan untuk {cj} yang juga sama dengan persamaan (3.16) yang terdapat dalam bagian sebelumnya.

Jika seluruh koefisien dari c1 hingga cn adalah nol, maka mereka akan memenuhi persamaan (3.29). Akan tetapi, himpunan dari solusi-solusi ini akan menghasilkan sebuah identitas yaitu Φ = 0, yang secara fisik tidak memiliki arti. Dalam usaha untuk memperoleh solusi yang tidak trivial, yang lain dari solusi dengan seluruh {cj} sama dengan nol, deteminan berikut haruslah sama dengan nol.

(3.30)

Elemen ij dari Aij dalam determinan ini diturunkan dari koefisien (Hij − εSij) = Aij dalam persamaan simultan (3.29). Persamaan (3.30) adalah sebuah persamaan aljabar dengan orde n untuk ε, dan disebut sebagai persamaan sekular. Persamaan sekular diekspresikan secara sederhana sebagai [Hij − εSij] = 0, yang mana hanya elemen ij yang ditulis antara sebuah pasangan dari tiang vertikal. ε1, ε2,…,εn(εi ≤ εi +1) adalah n buah solusi dari persamaan ini dan memberikan perkiraan atas nilai eigen energi. Nilai eigen terendah ε1 adalah pendekatan terbaik dari energi keadaan dasar yang sebenarnya dalam jangkauan yang dimungkinkan oleh kombinasi linier untuk Φ dalam persamaan (3.23). Sebagai perbandingan dengan nilai eigen yang sebenarnya dari energi yang terendah E1, E1,…, nilai eigen yang diperoleh dengan metoda variasi Ritz memenuhi hubungan berikut.

(3.31)

Karenanya εk (k ≥ 2) adalah sebuah nilai energi pendekatan untuk keadaan tereksitasi ke-k.

Fungsi gelombang {Φk} berhubungan dengan nilai eigen energi pendekatan {εk} dan dapat diperoleh dengan memasukkan εk ke dalam persamaan simultan (3.29), diikuti dengan mendapatkan {cj}. Harus dicatat di sini bahwa kondisi normalisasi akan memberikan persamaan berikut yang harus dipenuhi untuk {cj}

(3.32)

Contoh 3.2 Hitunglah nilai energi pendekatan dan fungsi gelombang dengan menerapkan metoda variasi Ritz pada Φ = c1Φ1 + c1Φ1, dengan dilengkapi bahwa H11 = -12 eV, H22 = -6 eV, H12 = H21 = -4 eV, S11 = S22 = 1, S12 = S21 = 0.

(Jawaban) Dengan mengunakan kondisi yang diberikan, persamaan sekular diekspresikan oleh

Solusi terendah memberikan energi keadaan dasar ε1 = -14 eV, dan energi yang lebih tinggi berkaitan dengan keadaan energi tereksitasi ε2 = -4eV.

Fungsi gelombang Φ dapat diperoleh dengan cara berikut. Dengan menerapkan kondisi yang diberikan untuk kondisi normalisasi pada persamaan (3.32).

(1)

Persamaan simultan (3.29) untuk koefisien c1, c2 memberikan

(2)

Dengan memasukkan nilai-nilai untuk H11, H12 dan ε1 ke dalam persamaan ini (2) akan memberikan

Ini akan menghasilkan c1 = 2c2, dan kemudian persamaan (1) memberikan c1 = 2√5, c2 = 1√ 5. Dengan demikian kita mendapatkan keadaan dasar fungsi gelombang.

Berikutnya, memasukkan ε2 ke dalam ε dalam persamaan (2) akan memberikan

Ini akan menghasilkan 2c1 = -c2, dan kemudian persamaan (1) memberikan c1 = 1√5, c2 = -2√5. Dengan demikian kita mendapatkan fungsi gelombang keadaan tereksitasi.

Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

3.3 Metoda SCF

Sebagaimana telah dipelajari dalam bagian 2.4, fungsi gelombang untuk sistem dengan elektron banyak dapat dibangun dengan fungsi orbital. Masalahnya adalah bagaimana menentukan fungsi orbital untuk sistem elektron banyak. Dalam bagian ini, kita akan mempelajari sebuah pendekatan fundamental untuk mendapatkan fungsi-fungsi orbital yang berdasarkan pada metoda variasi.

Operator Hamiltonian untuk sebuah sistem dengan n buah elektron diberikan oleh ekspresi berikut.

(3.33)

Di sini, (i) dan (i,j) masing-masing adalah operator untuk satu dan dua elektron. Indeks i dan j berkaitan dengan masing-masing elektron. Sebuah perbandingan dari persamaan ini dengan rumus (2.31) untuk sistem elektron banyak dalam bagian 2.3 akan memberikan ekspresi berikut untuk operator di atas.

(3.34)

(3.35)

Fungsi orbital yang ortonormal yang mengandung spin {ψi} dapat ditentukan dari persamaan simultan yang diturunkan dari persyaratan minimalisasi untuk nilai ekspektasi dari dengan sebuah fungsi gelombang determinan Ψ = |ψ1ψ2…ψn| yang terdiri dari fungsi-fungsi orbital.

(3.36)

Penjumlahan harus dilakukan dari 1 hingga n kecuali untuk k = i. Persamaan (3.36) disebut sebagai persamaan Hatree-Fock dan solusi dari persamaan ini akan menghasilkan fungsi orbitral {ψi} dan energi orbital {εi}.

Pendekatan yang lebih canggih diperlukan untuk memecahkan persamaan (3.36). Pertama, kita akan mengambil asumsi bahwa sebuah himpunan dari solusi-solusi pendekatan (pendekatan ke-0) untuk {ψi} telah diberikan atau diperoleh. Penggantian ψi ke dalam sisi kiri pada persamaaan (3.36) dengan aproksimasi ke-0 akan menuju pada sebuah persamaan yang sederhana dan dipecahkan sebagai berikut.

(3.37)

Meskipun solusi pendekatan dari {ψi} termasuk di dalam operator , akan tetapi {ψi} akan ditentukan kemudian. Ini kemudian akan memberikan kondisi bahwa persamaan (3.37) dapat dipecahkan sebagai sebuah persamaan nilai eigen yang biasa. Meskipun juga solusi pertama yang diperoleh untuk {ψi} dan {εi} , adalah solusi pendekatan, mereka diharapkan jauh lebih baik dari tebakan pertama. Berikutnya kita akan memperkirakan operator dengan solusi pertama dan kemudian kita akan memecahkan persamaan (3.37) lagi untuk memperoleh solusi kedua. Dalam prosedur seperti itu kita dapat meningkatkan solusi dengan proses iteratif hingga perbedaan antara hasil dan asumsi-asumsi menjadi sangat kecil. Ini disebut sebagai konsisten diri (self consistent) ketika ψ yang diasumsikan sebagai sebuah pendekatan konsisten dengan ψ yang diperoleh sebagai sebuah solusi. Dalam solusi yang konvergen, interaksi antar elektron dimasukkan dalam merupakan medan yang konsisten diri. Prosedur untuk mendapatkan solusi dengan cara yang iteratif disebut sebagai metoda SCF dan solusinya disebut sebagai solusi SCF. Fungsi orbital yang ditentukan oleh metoda SCF disebut sebagai orbital SCF.

Pembentukan fungsi gelombang determinan dengan orbital SCF yang berenergi rendah, diikuti dengan perhitungan nilai ekspektasi dari operator Hamiltonian persamaan (3.33) akan menghasilkan sebuah pendekatan dari nilai energi keadaan dasar yang disebut sebagai energi SCF. Energi SCF, ESCF dinyatakan dalam suku-suku dari beberapa integral oleh persamaan berikut.

(3.38)

Penjumlahan harus dilakukan terhadap seluruh orbital yang terisi. Integrasi untuk orbital SCF dengan memasukkan spin didefinisikan sebagai berikut.

Energi SCF dinyatakan dalam suku-suku dari masing-masing energi orbital {εi} sebagai berikut.

(3.39)

Ini memberikan indikasi bahwa energi SCF tidak sama dengan penjumlahan dari energi orbital. Suku tambahan identik dengan suku kedua pada persamaan (3.38) kecuali untuk suku dengan tanda yang berlawanan. Suku ini ada disebabkan oleh interaksi antar elektron. Penjumlahan energi orbital mengandung duplikasi atas kontribusi dari interaksi antar elektron, karena sebuah interaksi antar sebuah pasangan dua buah elektron akan muncul baik dalam energi orbital dari pasangan elektron tersebut masing-masing. Ini akan menyebabkan bahwa dalam persamaan (3.39) interaksi antar elektron akan dikalikan dengan -1 dan ditambahkan pada penjumlahan energi orbital. Jika interaksi antar elektron dapat diabaikan, energi total akan menjadi penjumlahan dari masing-masing energi orbital dan situasinya akan sama dengan model partikel independen sebagaimana telah dipelajari pada bagian 2.3.

Sebagai perbandingan antara energi SCF dan energi keadaan dasar, EGM tanpa memperhatikan efek relativistik seperti pada kopling spin-orbit akan menghasilkan ketidaksamaan berikut.

EG ≤ ESCF

Ketidaksamaan ini hanya untuk sistem dengan satu elektron seperti pada atom hidrogenik. Ketidaksamaan ini tidak akan berlaku untuk sistem dengan elektron banyak. Perbedaan antara ESCF – EG = ECORR untuk sistem elektron banyak adalah selalu positif. Besaran dari ECORR disebut sebagai energi korelasi dari elektron. Perbedaan yang demikian itu disebabkan oleh penyusunan dari fungsi gelombang elektron banyak dari orbital untuk gerakan elektron independen yang meniadakan efek korelasi elektron. Metoda variasi sebagaimana juga metoda gangguan dapat digunakan untuk meninjau efek korelasi elektron (lihat bagian 4.3). Sebagai kesimpulan dalam bab ini, gambaran karakteristik untuk metoda gangguan dan metoda variasi diberikan pada Tabel 3.1.

Tabel 3.1 Gambaran karakteristik untuk metoda gangguan dan metoda variasi

Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

Latihan

  1. Berdasarkan pada prinsip variasi, buktikan bahwa energi hingga orde pertama (E1) dari sebuah gangguan adalah lebih tinggi dari energi tingkat dasar sebenarnya, EG.
  2. Untuk sebuah sistem dengan 2 tingkat, buktikan bahwa tingat energi yang lebih tinggi akan meningkat dan tingkat energi yang lebih rendah akan menurun, dengan memperhitungkan koreksi energi pada gangguan orde kedua.
  3. Terapkan metoda variasi Ritz untuk Φ = c1φ1 + c2φ2, dapatkan solusi pendekatan untuk energi dan fungsi gelombang dengan menggunakan H11 = H22 = -6 eV, H12 = H21 = -3 eV, S11 = S22 =1, S12 = S21 = 0.

Ditulis dalam uncategorized | Sunting | 1 Komentar »

ATOM

Oktober 20, 2008 oleh ebenbohr

2.1 Atom hidrogenik

Marilah kita memperhatikan sebuah atom hidrogen di mana sebuah elektron bergerak di sekitar sebuah inti sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2.1. Berdasarkan pada sistem sederhana ini, kita akan mempelajari sifat fundamental dari tingkat energi dan fungsi gelombang.

Gambar 2.1 Sebuah atom hidrogenik. Z: bilangan atom, M: masa dari inti, m: masa dari elektron..

Muatan listrik dari inti dinyatakan oleh produk atau perkalian dari bilangan atom Z dan muatan elementer e. Energi potensial U diberikan oleh U = −Ze2 / 4πε0r. Dengan menggunakan rumus (1.73) untuk sistem dengan dua partikel yang diperkenalkan pada Bab 1, operator Hamiltonian Ĥ dari sistem ini dapat diekspresikan dengan persamaan berikut.

(2.1)

Di sini, μ adalah masa tereduksi yang diberikan oleh masa inti M dan masa elektron m dengan menggunakan persamaan berikut.

(2.2)

Ketika nilai 1/M dalam penyebut pada persamaan ini, untuk mendapatkan μ dapat diabaikan dengan mengingat bahwa M >> m, persamaan akan tereduksi menjadi μ = m dan sistem akan menjadi model yang sederhana yaitu sebuah elektron bergerak mengelilingi sebuah inti yang diam. Kesalahan yang disebabkan oleh pendekatan ini tidaklah terlalu besar sebagaimana kita dapat lihat di bawah ini pada Contoh 2.1. Hal ini akan memberikan bahwa solusi persamaan gelombang dari Hamiltonian pada persamaan (1.73) yang berlaku sangat ketat untuk gerak relatif akan dapat dipahami untuk merepresentasikan gerak elektron dalam atom.

Sebuah perbandingan dengan kasus pada sebuah atom hidrogen (Z = 1) mengindikasikan bahwa faktor e2 dengan sederhana dapat digantikan oleh Ze2 dalam ekspresi untuk energi potensial. Karenanya dari persamaan (1.79) dan (1.80) tingkat-tingkat energi akan diberikan oleh persamaan berikut.

(2.3)

(2.4)

Di sini, n adalah bilangan kuantum utama yang menentukan tingkat-tingkat energi. W(Z) adalah energi yang diperlukan untuk mengeluarkan satu elektron dari atom hidrogenik. Kuantitas ini untuk Z = 1 berkaitan dengan energi ionisasi dari atom hidrogen WH.

Contoh 2.1 Dalam kelipatan berapa dari jumlah energi yang diperlukan untuk menghasilkan sebuah ion dipositif seperti pada Helium (He2+) dengan memindahkan sebuah elektron dari sebuah ion Helium (He2+) jika dibandingkan dengan energi ionisasi dari atom Hidrogen?

(Jawaban) Energi ionisasi sebuah atom bergantung pada masa tereduksi μ dan bilangan atom Z. Pendekatan atas rasio masa dari proton dan elektron yang berkisar 1836:1 dan juga pendekatan atas masa inti atom hidrogen dan helium sebesar 1:4, kita akan mendapatkan rasio masa tereduksi sebesar

Sedangkan untuk perbedaan bilangan atom akan memberikan Z(He)2 / Z(H)2 = 22 / 12 = 4 . Hal ini akan memberikan rasio sebenarnya dan diperoleh sebesar 4.0016.

Jika perbedaan pada masa tereduksi dapat diabaikan dengan menuliskan μ(He) = μ(H) = m, kemudian W(2) = 4WH, akan menghasilkan jawaban yaitu 4 untuk rasio yang diperoleh.

Dengan menggunakan operator Hamiltonian dalam persamaan (1.77), persamaan gelombang dapat diekspresikan dalam bentuk koordinat polar sebagai berikut.

(2.5)

Sebagaimana telah dipelajari tentang momentum sudut, Legendrian Λ hanya terdiri dari koordinat sudut (θ,φ) , dan ini memenuhi persamaan dengan fungsi harmonik sudut Yl,m.

(2.6)

Dengan memperhatikan persamaan ini, marilah kita mengambil fungsi gelombang dalam bentuk sebagai berikut.

(2.7)

Dari persamaan (2.5) – (2.7), kita akan mendapatkan

(2.8)

Fungsi Ψ yang diperkenalkan pada persamaan (2.7) dapat menjadi solusi dari persamaan gelombang untuk atom hidrogenik, dengan persyaratan bahwa fungsi R(r) akan ditentukan untuk memenuhi kondisi [ ] = 0. Dalam cara ini, fungsi gelombang dari atom hidrogenik diberikan dalam bentuk yang merupakan produk dari bagian radial R(r) dan bagian sudut Yl,m (θ,φ) .

Persamaan untuk menentukan R(r) diberikan sebagai berikut.

(2.9)

Dengan memecahkan persamaan diferensial ini untuk mendapatkan persamaan yang kontinyu dan finit, nilai eigen energi E akan sesuai dengan persamaan (1.79) dan (1.80) dan batasan-batasan terhadap n dan l dapat diturunkan.

(2.10)

Fungsi-fungsi R(r) untuk bagian radial diekspresikan dalam bentuk persamaan matematik yang dikenal sebagai polinomial Laguarre, Lα dan sebuah fungsi dari r yang diberikan di bawah ini sebagai ρ.

Tabel 2.1 Bagian radial dari fungsi gelombang Rn,l(r)

Di sini, Lαβ adalah polinomial Laguerre terasosiasi, a0adalah konstanta yang sama dengan radius Bohr, as ketika μ = m. Sebagaimana dapat dilihat pada Contoh 2.1, kesalahan-kesalahan yang disebabkan oleh pendekatan μ = m adalah sangat kecil yaitu kurang dari 0.1%. Sehingga, a0 dapat dikatakan sama dengan radius Bohr as. Tabel 2.1 menunjukkan bagian radial dari fungsi gelombang Rn,l yang diperoleh dari persamaan (2.11) − (2.15). Grafik dari fungsi Rn,l untuk hidrogen ditunjukkan pada gambar 2.2.

Gambar 2.2 Bagian radial Rn,l dari fungsi gelombang atom hidrogen.

Karena kuadrat dari nilai absolut dari persamaan gelombang sebanding dengan kemungkinan untuk menemukan sebuah partikel, maka bentuk dari Rn,l akan menentukan perilaku sebuah elektron dalam atom sebagai fungsi terhadap jarak r terhadap inti atom. Ini adalah sebuah hal yang sangat penting dalam berbagai fenomena kimia dan dalam kaitannya dengan perilaku elektron dalam atom-atom yang lain. Sebagaimana dapat dilihat pada Tabel 2.1 dan Gambar 2.2, bagian radial dari fungsi gelombang Rn,l memiliki sifat matematika yang diberikan sebagai berikut. Dalam hubungannya dengan sifat-sifat ini, tanda karakteristik tentang kebergantungannya pada r dan probabilitas untuk menemukan sebuah elektron dalam atom ditunjukkan dalam [ ]. Sebagaimana akan ditunjukkan dalam bagian 2.2, kebergantungannya pada r dari probabilitas untuk menemukan sebuah elektron adalah sebanding dengan r2Rn,l2 .

[Sifat matematik dari bagian radial fungsi gelombang dan kebergantungannya pada r untuk probabilitas menemukan sebuah elektron]

  1. Dikarenakan adanya sebuah fungsi eksponensial maka nilai fungsional akan mendekati nilai 0 secara asimtotik bersamaan dengan meningkatnya r [bergerak ke arah luar dari inti atom, probabilitas untuk menemukan sebuah elektron akan menghilang].
  2. Koefisien dari r dalam eksponen akan mengecil untuk bilangan kuantum utama, n yang besar dan ini membuat nilai fungsi akan mendekati 0 lebih lambat untuk n yang lebih besar. [Probabilitas untuk menemukan sebuah elektron akan berkembang pada daerah jauh dari inti jika berpindah dari bilangan kuantum utama n = 1, n = 2 dan n = 3].
  3. Nilai fungsional pada r = 0 adalah 0 kecuali untuk l = 0 [tidak ada kemungkinan untuk menemukan sebuah elektron pada inti kecuali untuk l = 0]
  4. Terdapat n − l − 1 jarak (bola) di mana tidak ada elektron yang dapat ditemukan dengan nilai fungsi jarak yang nol. [Dalam kasus n − l > 1 , probabilitas untuk menemukan sebuah elektron menurun hingga daerah terluar dan memiliki sifat berosilasi].

Bilangan kuantum utama, n memiliki arti yang sangat penting yang mengklasifikasikan tingkat-tingkat energi. Dan juga mengkarakterisasi sifat spasial dari probabilitas untuk menemukan sebuah elektron. Hal ini akan memberikan keadaan bahwa elektron-elektron dalam sebuah atom akan bergerak keluar pada pembentukan kulit elektron yang disebut sebagai kulit K (n = 1), kulit L (n = 2), kulit M (n = 3), kulit N (n = 4), kulit O (n = 5), kulit P (n = 6) dan seterusnya. Kecenderungan ini berkaitan dengan radius orbital dalam model Bohr yang semakin membesar, dan berkaitan dengan meningkatnya n.

Dalam model Bohr, gerakan sebuah elektron yang tergabung dalam suatu kulit elektron tertentu dibatasi pada orbit melingkar yang sederhana. Dalam mekanika kuantum, gerakan elektron menjadi hal yang sangat kompleks dikarenakan bentuk dari fungsi gelombang bergantung tidak hanya oleh n akan tetapi juga pada l dan m. l dan m adalah juga bilangan kuantum yang menyatakan suatu keadaan atom dan fungsi-fungsi gelombangnya. l disebut sebagai bilangan kuantum azimut dan m disebut sebagai bilangan kuantum magnetik. l berkaitan dengan arah dan membentuk fungsi gelombang dan l berkaitan dengan fenomena bahwa tingkat-tingkat energi dapat bervariasi dengan medan magnetik.

Fungsi gelombang {Ψ} dari sebuah atom hidrogenik diekspresikan sebagai sebuah produk dari bagian radial Rn,l(r) dalam persamaan (2.13) dan fungsi harmonik sperikal Yl.m, dan karenanya {Ψ} dinyatakan sebagai kombinasi dari tiga bilangan kuantum (n, l, m).

(2.16)

(r,θ,φ) adalah koordinat elektron terhadap posisi inti atom dan Ψn,l,m menyatakan gerakan elektron di dalam atom. Berdasarkan hubungan-hubungan dalam gerakan orbital elektron dalam model Bohr, fungsi gelombang untuk sebuah elektron dalam sebuah atom disebut sebagai orbital atomik. Orbital atomik untuk sembarang atom juga diekspresikan sebagai sebuah produk dari bagian radial dan bagian sudutnya (harmonik sperikal) sebagaimana ditulis pada persamaan (2.16) dan dispesifikasikan oleh 3 buah bilangan kuantum (n, l, m). Meskipun bagian sudut dari orbital atomik adalah sama untuk atom hidrogenik dan sembarang atom, bagian radialnya berbeda untuk keduanya. Sifat karakteristik untuk bagian radial (1)-(4) yang diberikan di atas adalah berlaku secara umum untuk semua atom.

Sebagaimana disebutkan untuk momentum sudut terdapat beberapa batasan untuk dua bilangan bulat l dan m yang berkaitan dengan fungsi harmonik sperikal Yl.m. Dengan memperhatikan hubungan antara l dan n dalam persamaan (2.10) kita akan mendapatkan persamaan-persamaan berikut.

(2.17)

(2.18)

Terdapat n kasus dari nilai-nilai l untuk n yang sama (kulit elektron ke-n) dan terdapat 2l + 1 kasus dari nilai-nilai m untuk nilai l yang sama. Ini akan menuju pada keadaan bahwa kombinasi yang dapat diterima untuk l dan m untuk suatu kulit elektron tertentu seperti pada kulit ke-n dapat ditentukan dengan n2 melalui perhitungan berikut.

(2.19)

Karenanya, terdapat 12 = 1 fungsi gelombang untuk kulit K, 22 = 4 untuk kulit L dan 32 = 9 untuk kulit M. Bilangan-bilangan ini berhubungan dengan batas atas dari jumlah elektron yang dapat digabungkan dalam suatu kulit elektron tertentu, sebagaimana dapat dilihat pada bagian 2.5

Meskipun tingkat-tingkat energi dari atom hidrogenik bergantung hanya pada bilangan kuantum utama sebagaimana dapat dilihat dari persamaan (2.3), fungsi gelombang menyatakan sifat statistik dari partikel bergantung pada l dan m dan juga n memiliki variasi dari bentuk-bentuk fungsinya, masing-masing, terdapat satu jenis untuk n = 1, empat jenis untuk n = 2 dan sembilan jenis untuk n = 3. Dengan kata lain, terdapat n2 buah fungsi gelombang yang memiliki perbedaan jenis dan dengan tingkat energi En yang sama untuk semua tingkat tereksitasi (n > 1) kecuali untuk keadaan dasar (n = 1) . Fungsi gelombang memiliki generasi lipat empat untuk n = 2 dan lipat sembilan untuk n = 3.
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

2.2 Bentuk-bentuk orbital atomik

Penciptaan dan penghancuran ikatan kimia terjadi dalam kegiatan interferensi gelombang elektron. Mekanismenya berhubungan dengan bentuk dari fungsi orbital atomnya. Dalam bagian ini, klasifikasi dan sifat dari bentuk orbital akan didiskusikan untuk orbital atomik dari atom hidrogenik sebagai suatu contoh.

2.2.1 Klasifikasi orbital atomik

Orbital atomik adalah fungsi gelombang yang menyatakan gerakan elektron dalam sebuah atom dan orbital atomik diklasifikasikan ke dalam beberapa jenis terhadap bilangan kuantum utama dan bilangan kuantum azimut l sebagaimana dituliskan pada Tabel 2.2.

Bilangan kuantum azimut berkaitan dengan sifat dari deret spektral dalam spektra atomik. Ini akan memberikan keadaan bahwa huruf pertama dalam penamaan deret spektral seperti pada ketajaman, keutamaan difusi dan hal yang mendasar telah digunakan sebagai s untuk l = 0, p untuk l = 1 dan f untuk l = 3.

Tabel 2.2. Klasifikasi dari orbital atomik

2.2.2 Fungsi-fungsi sudut untuk s, p, d.

Penamaan s, p, d untuk orbital atomik digunakan untuk mengklasifikasikan bagian angular. Meskipun prototipe dari fungsi bagian angular adalah fungsi harmonik sperikal Yl,m( θ,φ) dalam perhitungan nyata dan fungsi konvensional yang diberikan pada tabel 2.3 lebih digunakan untuk suatu alasan tertentu dan alasannya yang diberikan di bawah ini. Bagian angular seperti s, p dan d berkaitan dengan mekanisme dan sifat arah dalam pembentukan ikatan kimia dan ini akan menyebabkan arah dan tanda dari bagian angular harus dipelajari secara hati-hati.

Fungsi s dalam bagian angular hanya memiliki satu jenis, yaitu fungsi harmonik sperikal Y0,0 sebagaimana ditunjukkan dalam Tabel 2.3, di mana memiliki sebuah nilai konstan dan tidak bergantung pada sudut θ dan φ. Dengan demikian orbital s berbentuk bola dan nilai dari fungsi orbital s adalah sama dengan sebuah nilai konstan terhadap jarak r, tidak bergantung pada arah.

Tiga jenis harmonik sperikal Y1,-1, Y1,0, Y1,1 berkaitan dengan fungsi p. Sebagaimana ditunjukkan dalam Tabel 1.3 dalam bagian 1.13, Y1,-1 dan Y1,1 adalah fungsi-fungsi bilangan kompleks dan Y1,0 adalah sebuah fungsi riil yang diekspresikan sebagai berikut:

(2.20)

Di sini hubungan z = r cos θ dari definisi tentang koordinat polar digunakan. Y1,0 bergantung pada sudut polar θ menunjukkan bahwa sudut tersebut terdefleksi dari sumbu z dan nilai absolut dari Y1,0 berada pada nilai maksimum pada arah sumbu z. Karenanya, fungsi Y1,0 disebut sebagai fungsi pz.

(2.21)

Fungsi yang sama dan bergantung pada sudut defleksi dari sumbu x dan sumbu y dapat juga didefinisikan dalam persamaan berikut dan mereka disebut sebagai fungsi px dan py.

(2.22)

(2.23)

Kecuali untuk kasus-kasus yang khusus seperti dalam sebuah medan magnet, ketiga fungsi px, px dan pz secara konvensional digunakan sebagai bagian angular dari fungsi-fungsi p. Fungsi-fungsi p ini seluruhnya memenuhi persamaan eigen (2.6) dengan sebuah bilangan kuantum azimut l = 1.

Dalam kasus di mana m ≠ 0 , fungsi harmonik sperikal dalam Tabel 1.3 secara umum adalah fungsi-fungsi kompleks dan perhitungan matematikanya rumit. Akan lebih mudah jika menggunakan fungsi-fungsi berikut dengan nilai-nilai riil yang dinotasikan sebagai Yl,m+ dan Yl,m dan semuanya ekivalen dengan Yl,m, Yl,−m untuk memenuhi persamaan (2.6).

(2.24)

(2.25)

Fungsi-fungsi ini digunakan dalam Tabel 2.3 untuk fungsi p dan d.

Lima jenis fungsi d ditunjukkan dalam Tabel 2.3 dan ini berhubungan dengan bagian angular (sudut) untuk l = 2 dan karakteristik arahnya lebih kompleks dibandingkan dengan orbital p. Karakteristik 3 dimensi dari fungsi-fungsi orbital tidak dapat dilihat dengan mudah melalui ekspresi matematikanya dan kita akan mengenalkan beberapa tipe dari ekspresi yang tipikal dan menunjukkan bentuk-bentuknya.

Tabel 2.3. Fungsi s, p dan d untuk bagian angular.

2.2.3 Kebergantungan sudut dan bentuk dari koordinat-koordinat polar

Bagian sudut Y(θ,φ) menentukan kebergantungan sudut dari kemungkinan untuk menentukan sebuah elektron. Dengan mengambil |Y| dalam setiap arah sebagai panjang sebuah vektor terhadap titik awal, sebuah kontur dapat dibuat dengan titik puncak vektor tersebut memberikan sebuah gambaran atas koordinat polar dalam permukaan 3 dimensi dan ditunjukkan dalam Gambar 2.3. Gambar-gambar ini menyatakan kebergantungan sudut dari orbital atom. Simbol + dan – dalam Gambar 2.3 menunjukkan tanda untuk Y(θ,φ).

Gambar 2.3 Kebergantungan sudut dari orbital s, p dan d.

Contoh 2.2. Buatlah gambar dari koordinat polar untuk fungsi pz, Y1,0 dalam bidang x-z

(Jawaban). Karena φ = 0, y = 0 dalam bidang x-z, koordinat x dan z dari titik puncak dari vektor P(x,0,z) menunjukkan besaran dan jaraknya dari titik pusat diberikan sebagai berikut

Di sini Y adalah

Dengan memperhatikan bahwa |cosθ| = cosθ untuk 0 ≤ θπ / 2 dan dengan menggunakan sebuah konstanta a,

x dan y dapat dinyatakan sebagai

Karenanya

Dengan demikian kita mendapatkan

Ini akan menghasilkan gambar berupa sebuah lingkaran dengan jari-jari a/2 dan terletak pada ( x,z) = (0, a / 2) . Lingkaran yang lain dengan jari-jari a/2 terletak pada (x,z) = (0,− a / 2) juga memenuhi syarat karena |cosθ| = − cosθ untuk π / 2 ≤ θπ. Dengan demikian kita mendapatkan dua lingkaran dengan jari-jari yang sama dengan titik pusat berada pada sumbu z dan membuat kontak satu dengan lainnya pada titik pusat sebagaimana ditunjukkan dalam gambar berikut.

Untuk φ ≠ 0 , gambar di atas harus dirotasikan pada sudut φ di sekitar sumbu z untuk menghasilkan gambar 3 dimensi yang terdiri dari pasangan sperikal sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2.3.

2.2.4 Kebergantungan radial dan distribusi radial

Kebergantungan radial dari orbital atomik pada jarak r dari inti atom ditentukan oleh bagian radial Rn,l(r). Probabilitas untuk menemukan sebuah elektron dalam daerah antara sebuah pasangan bola dengan jari-jari r dan r + dr dilakukan dengan memperkenalkannya sebagai D(r)dr, dan d(r) didefinisikan sebagai fungsi distribusi radial yang digunakan untuk memahami kebergantuangan radial dari sebuah fungsi gelombang. Gambar 2.4 menunjukkan beberapa contoh dari D(r) untuk sebuah atom hidrogen. Penurunan fungsi distribusi radial D(r) akan dilakukan sebagai berikut. Dikarenakan d(r) akan menjadi 0 ketika bagian radial R memiliki sebuah noda, terdapat ( n-l) titik-titik maksimum yang mana jumlahnya satu lebih banyak dibandingkan dengan jumlah noda untuk R. Nilai terbesar dari D(r) terletak pada nilai maksimum terluar. Jarak dari nilai terbesar rmax meningkat dengan meningkatnya n. rmax menunjukkan tempat di mana probabilitas untuk menemukan sebuah elektron sangat besar dan jarak ini memberikan ukuran kulit elektron, ukuran atom dan juga panjang ikatan.

Marilah kita menurunkan rumus untuk D(r). Integrasi dari D(r) dari 0 ke ∞ harus sama dengan probabilitas untuk menemukan elektron dalam seluruh ruang yang merupakan nilai integrasi dari kuadrat dari fungsi gelombang Ψ pada seluruh daerah dalam ruang 3 dimensi. Nilai ini harus merupakan nilai yang finit disebabkan oleh persyaratan normalisasi. Dengan demikian,

(2.26)

Gambar 2.4 Fungsi distribusi radial D(r) = r2R2n,l.

Gambar 2.5. Elemen volume dv = r2 sin θdφdθdr untuk koordinat polar.

(2.27)

Harus dicatat bahwa jangkauan dari integrasi adalah dari 0 ke 2π untuk φ, dari 0 ke π untuk θ, dan dari 0 ke ∞ untuk r. Dengan memasukkan penggantian ini dalam sisi bagian kanan pada persamaan (2.26) dan membandingkannya dengan sisi sebelah kiri, kita mendapatkan rumus untuk D(r) dengan proses integrasi berikut.

(2.28)

Berikutnya, penggantian untuk Ψ dengan sebuah produk dari bagian radial R akan memberikan sebuah integrasi untuk bagian sudut dari Y terhadap sudut-sudut θ dan φ, yang juga sama dengan kondisi normalisasi untuk fungsi harmonik sperikal Y.

(2.29)

Dengan demikian kita akan mendapatkan sebuah rumus untuk D(r) sebagai berikut.

(2.30)

Contoh 2.3 Carilah D(r) untuk fungsi gelombang 1s dari sebuah atom hidrogenik.

(Jawaban) Fungsi gelombang 1s untuk atom hidrogenik diberikan sebagai berikut

Dengan menggunakan bagian radial dari fungsi gelombang ini dan persamaan (2.30), fungsi distribusi radial D(r) dinyatakan sebagai berikut

Di sini

Jelas terlihat dari diferensiasi pada persamaan ini bahwa nilai maksimum dari D(r) terletak pada r = a0 / Z . Dalam kasus sebuah atom hidrogen (Z = 1), jarak untuk nilai maksimum sama dengan a0, dan ini hampir sama dengan radius Bohr aB.

2.2.5 Garis-garis kontur

Beberapa alat diperlukan untuk merepresentasikan fungsi gelombang atomik karena mereka adalah fungsi-fungsi dalam koordinat 3 dimensi. Sebagai contoh, garis-garis kontur dapat digambarkan pada sebuah bidang untuk Ψ atau |Ψ|2 pada nilai yang sama (Gambar.2.6).

Gambar 2.6 Garis kontur untuk Ψ dan |Ψ|2.

Karena orbital s memiliki simetri sperikal, garis-garis melingkar yang rapat akan digambarkan untuk setiap bidang. Di samping itu orbital, px, py, dan pz memiliki simetri aksial yang berkaitan dengan sumbu kartesian dan dengan demikian nilai terbesarnya akan muncul sebagai sebuah pasangan dari titik-titik pada sumbu-sumbu pada posisi simetrisnya. Tanda dari fungsi p untuk pasangan-pasangan titik ini saling berlawanan satu dengan yang lainnya. Hal ini dikarenakan setiap fungsi p berubah tandanya terhadap refleksi dalam bidang termasuk titik awal dan berada pada posisi vertikal terhadap sumbu, Ψ = 0 dalam bidang. Dengan kata lain, setiap fungsi p memiliki sebuah bidang noda yang tegak lurus terhadap sumbu.
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

2.3 Bentuk-bentuk orbital atomik

Masalah untuk menentukan gerakan elektron-elektron di dalam sembarang atom yang memiliki banyak elektron adalah tidak mudah sebagaimana masalah dalam atom hidrogenik. Ini kebanyakan dikarenakan oleh dua alasan sebagai berikut. Alasan pertama adalah disebabkan oleh interaksi antara elektron-elektron yang tidak membolehkan sebuah perlakuan terhadap gerak bebas dari seluruh elektron yang ada. Alasan lainnya adalah dikarenakan hadirnya momentum sudut dari elektron yang disebut dengan spin elektron yang tidak mudah untuk ditangani. Bahkan untuk sistem dengan dua elektron seperti pada sebuah atom helium, persamaan gelombang tidak dapat dipecahkan secara sederhana dan langsung. Karenanya, metoda pendekatan sangat diperlukan. Pada masa awal kelahiran teori kuantum, tidak terdapat komputer modern sehingga masalah-masalah sistem dengan dua elektron atau lebih (sistem elektron banyak) ditangani dengan metoda aproksimasi seperti metoda gangguan atau variasi yang akan dijelaskan ada Bab 3. Pada masa kini, perlakuan variasi yang cocok untuk komputer modern telah dikembangkan untuk memungkinkan kita melakukan perhitungan dengan lebih mudah dengan beberapa paket program yang konvensional. Dalam bagian ini, karakteristik dari fungsi-fungsi gelombang dan tingkat-tingkat energi untuk atom dengan elektron banyak akan dibandingkan dengan fungsi gelombang dan tingkat energi dari atom-atom hidrogenik.

Kita dapat menyimpulkan di sini bahwa gerakan dari elektron-elektron dapat diperlakukan sama dengan orbital atomik 1s, 2s, 2px, 2py, 2pz dalam atom hidrogenik. Meskipun tingkat-tingkat energi dari atom hidrogenik bergantung hanya pada bilangan kuantum utama n, tingkat-tingakat energi untuk atom dengan elektron banyak dengan bilangan kuantum utama yang sama dapat berbeda dikarenakan nilai terendah dari bilangan kuantum azimut akan memberikan tingkat energi yang lebih rendah (lebih stabil). Dalam bagian berikut ini, akan dijelaskan bahwa spin elektron juka akan memungkinkan kita untuk memahami konfigurasi elektron dalam orbital atom dan tingkat-tingkat energinya, dan akan sangat membantu untuk menjelaskan masing-masing sifat dari unsur kimia.

2.3.1 Model elektron independen

Sebagaimana yang disebutkan untuk atom hidrogenik, gerakan dari inti atom dapat diabaikan jika diperbandingkan dengan gerakan elektron. Dengan demikian inti atom dapat dinyatakan dalam posisi tetap yaitu pada posisi keseimbangannya terhadap sistem dengan elektron banyak. Dengan penyederhanaan ini operator Hamiltonian Ĥ untuk sistem dengan N elektron diberikan oleh persamaan berikut.

(2.31)

Di dalam persamaan ini, yang terdapat dalam tanda kurung [ ] dari suku pertama dapat ditulis sebagai dan merupakan sebuah operator yang berkaitan dengan koordinat dari elektron ke-i. rij pada sisi sebelah kanan menyatakan jarak antara elektron ke-i dan j dan suku yang di dalamnya terdapat rij menyatakan interaksi antar elektron. Sebagai sebuah pertukaran dari elektron i dan j dalam interaksi antar elektron, hal ini juga akan berlaku untuk pasangan elektron yang sama, i > j yang dinyatakan dalam simbol penjumlahan Σ mengindikasikan untuk melakukan penjumlahan hanya sekali untuk sebuah pasangan i dan j. sama dengan operator Hamiltonian Ĥ dari sebuah atom hidrogenik dengan (μ = m) kecuali untuk indeks i yang diletakkan pada Δ dan r, dan persamaan karakteristik dan solusinya adalah sebagai berikut.

φn,l,m adalah orbital atomik yang menyatakan gerak dari sebuah elektron sebagaimana dalam kasus atom hidrogenik. Secara umum, fungsi orbital ini menyatakan gerakan sebuah elektron yang disebut sebagai orbital. Nilai eigen energi ε0 yang berkaitan dengan orbital, disebut sebagai energi orbital.

Pengabaian interaksi antara elektron dalam suku kedua pada persamaan (2.31) akan menghasilkan Hamiltonian Ĥ0 dalam bentuk sebagai berikut.

(2.35)

Persamaan eigen untuk Ĥ0 ini adalah Ĥ0Φ = EΦ, dan ini dapat dengan mudah untuk dipecahkan dengan persamaan (2.32)-(2.34) untuk memberikan solusi-solusi sebagai berikut.

Di sini, orbital atomik dan energi orbital untuk elektron-elektron pertama ditunjukkan dengan φn1 dan εn1 dan bukan ditulis dengan φn1,l1,m1 dan εn1,l1,m1 yang berisi tiga bilangan kuantum dan tertulis secara eksplisit. Penyingkatan ini diaplikasikan pada bagian yang terakhir dari φnN, εnN.

Dalam kasus hipotetik tanpa interaksi antar elektron, fungsi gelombang dan energi untuk gerakan kolektif elektron dapat diekspresikan dalam bentuk orbital dan energinya untuk gerakan independen dari individual elektron. Gambaran karakteristik untuk model elektron independen dinyatakan sebagai berikut.

[Gambaran karakteristik dari model elektron independen]

  1. Fungsi gelombang untuk sebuah sistem elektron banyak dinyatakan sebagai sebuah produk dari fungsi gelombang untuk sistem satu elektron (orbital).
  2. Energi untuk sebuah sistem elektron banyak diberikan sebagai sebuah penjumlahan sederhana dari energi-energi untuk sistem sebuah elektron (energi-energi orbital).

Gambaran (1) menunjukkan bahwa probabilitas untuk menemukan sebuah elektron pada suatu posisi diberikan sebagai sebuah produk dari probabilitas untuk menemukan masing-masing elektron. Gambaran (2) menunjukkan bahwa tingkat energi terendah, tingkat dasar, dari sebuah sistem elektron banyak direalisasikan ketika elektron-elektron tersebut secara individual berada dalam tingkat energi terendah. Meskipun keberadaan seluruh elektron dalam orbital 1s adalah dimungkinkan untuk atom-atom H dan He, namun hal ini tidak diijinkan untuk seluruh atom lain yang memiliki bilangan atom Z ≥ 3. Alasannya akan diberikan dalam bagian 2.4, dalam kaitannya dengan spin elektron.

2.3.2 Efek perisai dan model muatan inti efektif

Interaksi antar elektron diabaikan dalam model elektron independen. Akan tetapi pendekatan yang demikian itu tidaklah tepat untuk sistem nyata di mana interaksi antar elektron sangat berarti. Marilah kita meninjau efek interaksi antar elektron dengan menggunakan sebuah model sederhana.

Sekarang kita akan memperkirakan efek dari gaya tolak-menolak yang disebabkan oleh elektron-elektron lain pada sebuah elektron yang bergerak pada jarak r0 dari inti atom. Gaya elektrostatik akan memberikan dua kondisi dari efek interaksi tolak-menolak antar elektron dalam sebuah atom bergantung pada daerah mana elektron lain berada yaitu pada r > r0 atau r < r0, dengan mengasumsikan bahwa distribusi elektron berbentuk bola, yaitu:

  1. Tidak terdapat gaya-gaya secara rata-rata dari elektron-elektron terluar (r > r0).
  2. Gaya-gaya yang mengarah keluar disebabkan secara rata-rata oleh elektron-elektron di bagian dalam dan efek dari gaya ini akan mengurangi gaya tarik-menarik yang disebabkan oleh muatan inti, sebagaimana jika sebuah elektron ditempatkan pada inti untuk menurunkan muatan ini sebanyak satu muatan.

Efek dari elektron-elektron dalam yang mengurangi gaya-gaya tarik menarik oleh inti disebut sebagai efek perisai. Besarnya efek perisai adalah lebih besar untuk elektron terluar dibandingkan dengan untuk elektron-elektron dalam. Efek perisai dapat ditinjau secara ekivalen dengan mengganti bilangan atom Z dari inti atom dengan bilangan yang lebih kecil. Perluasan dari reduksi s diperkenalkan sebagai konstanta perisai dan muatan efektif inti didefinisikan sebagai = Z − s. Konstanta perisai s akan merepresentasikan jumlah elektron dalam. Jika sebuah elektron terletak dibagian terluar, maka konstanta perisai untuk elektron ini akan menjadi s = Z-1 dan kemudian akan berhubungan dengan muatan inti efektif dari yang menjadi = Z − (Z − 1) = 1 . Hal ini menjadi sangat penting ketika kita akan mendiskusikan sifat periodisitas energi ionisasi.

Jika kita mengganti Z dalam suku pertama pada persamaan (2.31) dengan bersamaan dengan pengabaian interaksi antar elektron, sebuah Hamiltonian Ĥ dari sebuah model di mana interaksi antar elektron-elektron secara efektif diperhitungkan di dalam muatan efektif inti yang didefinisikan sebagai , diberikan dengan

(2.39)

Model ini disebut sebagai model muatan inti efektif. Dengan menuliskan ulang suku dalam tanda [ ] dalam persamaan (2.39) dengan i, kita mendapatkan hasil-hasil yang sama sebagaimana terdapat dalam persamaan (2.36)-(2.38). Ini menggambarkan bahwa gambaran karakteristik yang disebutkan untuk model elektron independen dapat juga berlaku untuk moedel muatan inti efektif. Harus dicatat bahwa energi orbital dalam persamaan (2.33) dimodifikasi dengan mengganti Z dengan , yang bergantung juga pada jenis orbital dan khususnya pada pengaturan dari lokasi elektron dalam dan elektron luar terhadap elektron-elektron lainnya. Model muatan inti efektif sangat berguna untuk membahas konfigurasi elektronik dari atom-atom dan periodisitasnya.

2.3.3 Orbital atomik dan tingkat energi untuk atom berelektron banyak

Berdasarkan pada metoda variasi, sebuah perlakuan teoritis, yang lebih pasti dan rasional dibandingkan dengan model muatan inti efektif, dapat dibentuk untuk mendapatkan fungsi-fungsi orbital dan energi untuk sistem dengan elektron banyak. Gambaran karakteristik dari hasil-hasil dengan cara demikian yaitu dengan metode variasi dijelaskan di bawah ini.

Fungsi orbital atomik φ diberikan sebagai produk dari fungsi radial R‘(r) dan bagian angular (sudut) Y(θ,φ) sebagaimana dalam kasus atom-atom hidrogenik dan orbital atom ini diklasifikasikan dalam sebuah himpunan dari tiga bilangan kuantum n, l dan m.

(2.40)

Yl,m dalam harmonik sperikal dan R‘(r) yang berbeda dari R(r) untuk atom hidrogenik adalah sebuah fungsi dari r, secara kualitatif sangat mirip dengan fungsi hidrogenik R(r) dalam beberapa hal yang sudah disebutkan berkaitan dengan kelakuan asimtotik dan noda.

Ini akan memberikan pengertian bahwa orbital atomik dapat diklasifikasikan menjadi 1s, 2s, 2px, 2py, 2pz, 3s, 3px, 3py, 3pz, 3dxy, 3dyz, 3dzx, 3dx2y2, 3dz2,…, sebagaimana dalam kasus orbital hidrogenik.

Tingkat-tingkat energi dengan bilangan kuantum utama n yang sama terdegenerasi untuk atom hidrogenik, sementara untuk atom dengan elektron banyak yang umum, energi-energi untuk orbital dengan n yang sama dapat berbeda ketika nilainya berbeda; nilai yang kecil akan memberikan energi yang lebih rendah. Sebagai contoh, pengaturan dari energi orbital 3s, 3p, dan 3d untuk atom dengan elektron banyak adalah sebagai berikut:

(2.41)

Alasan untuk hal ini berkaitan dengan besarnya efek perisai. Semakin kecil l akan menghasilkan probabilitas yang lebih besar untuk menemukan elektron-elektron yang dekat dengan inti di mana efek perisai tidak begitu efektif. Karenanya, nilai l yang lebih rendah akan memberikan gaya tarik menarik yang lebih kuat dari inti secara rata-rata dan mengakibatkan energi yang lebih rendah dan stabil. Jika l sama, maka nilai n yang lebih kecil akan memberikan energi yang lebih rendah, sebagaimana dalam kasus atom hidrogenik.
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

2.4 Spin elektron

Orbital elektron dan tingkat energi dari sistem elektron banyak diklasifikasikan menjadi 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, dan seterusnya dalam kasus atom-atom hidrogenik. Masalahnya adalah bagaimana elektron-elektron tersebut didistribusikan ke dalam orbital elektron. Apakah seluruh elektron digabungkan ke dalam orbital yang paling stabil yaitu orbital 1s dengan energi terendahnya? Kesimpulan dari teori kuantum adalah bahwa hanya ada dua elektron yang dapat menempati orbital yang sama. Aturan ini berkaitan dengan momentum sudut khusus yang disebut sebagai spin elektron.

2.4.1 Landasan eksperimental untuk spin elektron.

Keberadaan spin elektron dibuktikan melalui beberapa eksperimen.

  1. Eksperimen berkas atom oleh Stern dan Gerlach
  2. Aliran atom dapat dihasilkan dalam sebuah ruang vakum melalui nozel setelah melakukan evaporasi perak atau logam alkali dengan pemanasaan. Aliran atom yang demikian itu dalam vakum disebut sebagai berkas atom. O. Stern dan W. Gerlach menemukan pada tahun 1922 bahwa berkas atom perak atau atom natrium, yang memiliki hanya satu elektron pada kulit terluar, berpisah membentuk dua garis dalam sebuah medan magnet tidak homogen (Gambar 2.7). Eksperimen ini memberikan gambaran bahwa sebuah elektron memiliki sebuah momen magnetik, yang merupakan sifat magnetik yang berkaitan dengan arus listrik melingkar.

    Gambar 2.7 Eksperimen berkas atom oleh Stern dan Gerlach.

  3. Garis ganda (doblet) dalam spektrum atom logam alkali
  4. Sebuah warna oranye dari reaksi pembakaran natrium dapat dipancarkan dari lampu lecutan listrik dengan uap natrium. Garis-garih hitam (Garis Fraunhofer) ditemukan dalam spektrum dari matahari terdiri dari garis-garis dengan panjang gelombang yang sama sebagaimana spektrum natrium dan disebut sebagai garis-garis D. Garis-garis D dari natrium berasal dari transisi antara tingkat 3s dan 3p dan pada garis-garis itu diamati terdiri dari dua garis yang berdekatan (doblet) pada panjang gelombang 5895.93 Å dan 5889.97 Å. Doblet seperti itu juga ditemukan pada atom alkali yang lain dan jarak pemisahannya diketahui akan semakin membesar dengan susunan Li < Na < K < Rb < Cs. S.A. Goudsmit dan G.E. Uhlenbeck mengusulkan bahwa pemisahan garis spektra disebabkan oleh momen magnetik dari sebuah elektron yang berkaitan dengan gerakan melingkarnya. Karena momentum sudut dikaitkan dengan gerakan melingkar dari sebuah muatan listrik, momentum sudut ini yang menjadi asal usul momen magnetik dari sebuah elektron. Momentum sudut yang yang berkaitan dengan gerakan melingkar oleh sebuah elektron disebut sebagai spin elektron.

2.4.2 Operator, fungsi eigen, dan bilangan kuantum untuk spin elektron

Dalam usaha untuk membahas spin elektron dalam mekanika kuantum, operator harus diperkenalkan seperti pada momentum sudut orbital. Marilah kita menuliskan momen sudut spin sebagai dan dengan komponen-z ditulis sebagai z. Dengan mengambil analogi terhadap momentum sudut orbital, fungsi eigen yang umum Γ untuk dan z diharapkan ada dan harus memiliki hubungan sebagai berikut:

(2.42)

(2.43)

s adalah bilangan kuantum untuk kuadrat dari spin dan disebut sebagai bilangan kuantum spin. ms adalah bilangan kuantum untuk komponennya dan disebut sebagai bilangan kuantum spin magnetik. Aturan umum untuk momentum sudut menyarankan bahwa ms harus memiliki 2s + 1 nilai yang mungkin dengan s, s – 1,…, s, s + 1, s, s. Dengan eksperimen, berkas atom dipisahkan menjadi dua komponen dalam sebuah medan magnet dan spektra logam alkali terpisahkan menjadi 2 garis. Berdasarkan penemuan ini, ms disimpulkan hanya memiliki 2 nilai yang mungkin. Ini mengikuti ketentuan bahwa 2s + 1 = 2 dan karenanya kita mendapatkan s, s = 1/2, ms = ±1/2. Harus dicatat bahwa bilangan kuantum spin adalah sebuah setengah bilangan bulat dengan hanya satu nilai yaitu s = 1/2. Nilai yang dibolehkan untuk ms dibatasi hanya pada nilai ±1/2. Spin adalah momentum sudut yang sangat khusus jika dibandingkan dengan momentum sudut orbital.

Meskipun sifat yang khusus dari momentum sudut spin sangat sulit untuk dimengerti secara konseptual, perhitungan dan perlakuan matematikanya sangatlah sederhana. Karena hanya ada dua keadaan, maka hanya terdapat dua buah fungsi eigen. Biasanya fungsi spin berkaitan dengan dengan ms = 1/2 dinyatakan sebagai α, dan fungsi spin yang lain untuk ms = -1/2 dinyatakan sebagai β.

(2.44)

(2.45)

Dalam kaitan dengan orientasi dari momen magentik yang berkaiatan dengan gerakan berputar, arah ke atas disebut sebagai spin α dan arah ke bawah disebut sebagai spin β. Variabel σ untuk fungsi spin α(σ), β(σ) disebut sebagai koordinat spin.

Meskipun keberartian dari koordinat spin σ tidak jelas, kita tidak perlu untuk memperhatikan apa yang direpresentasikannya. Koordinat spin adalah koordinat ke empat yang mengkuti tiga koordinat untuk posisi dalam ruang tiga dimensi. Secara formal, nilai yang dimungkinkan untuk koordinat spin hanya ada dua kasus yaitu orientasi keatas σ =↑ dan orientasi ke bawah σ = ↓.

(2.46)

Probabilitas untuk menemukan sebuah elektron pada σ =↑ adalah sama dengan 1 dalam keadaan spin ke atas α dan 0 dalam keadaan spin ke bawah β . Di sisi yang lain, probabilitas untuk menemukan sebuah elektron pada keadaan σ =↓ adalah sama dengan 0 dalam keadaan spin ke atas α dan 1 dalam keadaan spin ke bawah β .

Dalam mekanika kuantum, beberapa integral perlu dihitung dalam kaitannya dengan probabilitas dan normalisasi. Sebagaimana untuk spin, sebuah penjumlahan yang sederhana untuk dua koordinat saja, ↑ dan ↓, yang perlukan. Sebagai contoh persamaan (2.46) akan menghasilkan

(2.47)

dan hal yang sama

(2.48)

Sebagai tambahan,

(2.49)

Sebagaimana dapat dilihat dari perhitungan-perhitungan ini, fungsi-fungsi spin α, β dalam persamaan (2.46) memenuhi sifat ortonormalitas.

Untuk sebuah fungsi ψ dari sebuah elektron dengan memperhatikan spin elektron, terdiri dari variabel untuk koordinat spasial x, y, z dan koordinat spin σ. Jika komponen dari spin elektron sz memiliki suatu nilai nilai yang pasti, fungsi spin dapat terdiri dari α atau β. Ini akan memberikan keadaan bahwa fungsi orbital spasial untuk koordinat kartesian φ(x,y,z) menghasilkan pasangan fungsi gelombang berikut untuk elektron-elektron yang di akomodasi dalam orbital spasial ini.

(2.50)

(2.51)

Persamaan-persamaan ini berkaitan dengan sebuah aturan bahwa jumlah elektron dalam setiap orbital spasial (dalam kasus sebuah atom dengan orbital 1s, 2s, 2px, 2py, 3dxy, dll.) haruslah tidak melebihi dua.

2.4.3 Batasan pada fungsi gelombang elektron banyak dan prinsip Pauli.

Pertanyaan tentang berapa banyak elektron yang dapat menempati sebuah orbital atomik seperti pada orbital 1s adalah masalah yang sangat penting dalam hubungannya dengan spektra atomik dan sifat-sifat atomiknya. Solusi dari masalah ini diberikan oleh Pauli pada tahun 1924 dan aturan ini disebut sebagai prinsip Pauli atau prinsip eksklusi Pauli.

[Prinsip Pauli (Prinsip eksklusi)]

Setiap orbital dapat ditempati oleh sebuah elektron dengan spin α atau spin β, akan tetapi ia tidak dapat ditempati oleh dua atau lebih elektron dengan spin yang sama.

Aturan ini ditetapkan oleh Pauli berdasarkan hasil eksperimen seperti pada spektra atomik. Hal yang sangat penting adalah bahwa setiap elektron memenuhi aturan ini, dalam hubungannya dengan pembentukan fungsi gelombang elektron banyak.

Marilah kita meninjau dua elektron. Satu terletak pada sebuah koordinat q1 dan yang lain pada q2. Keadaan ini dinyatakan dengan sebuah fungsi gelombang yang ditulis sebagai Ψ(q1,q2). Hal yang sama sebuah keadaan untuk dua elektron dengan koordinat yang saling bertukar dapat ditulis sebagai Ψ(q1,q2). Meskipun Ψ(q1,q2) dan Ψ(q2,q1) secara matematika berbeda ekspresi yang menyatakan penomoran elektron-elektron sebagai 1 dan 2, kita tidak dapat mengenal setiap perbedaan dalam dalam penomoran ketika kita mengamati elektron. Ini akan mengakibatkan bahwa probabilitas untuk menemukan elektron nomor 1 pada q1 dan elektron nomor 2 pada q2 harus sama dengan probabilitas untuk menemukan elektron nomor 1 pada q2 dan elektron nomor 2 pada q1. Kondisi ini dinyatakan dengan persamaan berikut.

(2.52)

Dengan mencatat bahwa fungsi gelombang secara umum adalah bilangan kompleks, kita akan memperoleh

(2.53)

Pilihan awal dari dua elektron dan juga geometrinya dapat diambil sembarang. Dengan demikian adalah tidak masuk akal untuk mengasumsikan bahwa konstanta θ dalam persamaan (2.53) berbeda dan bergantung pada pilihan dari elektron dan geometrinya. Karenanya hubungan yang sama harus dipenuhi untuk sebuah pertukaran dari q1 dan q2.

(2.54)

Dua persamaan ini akan menghasilkan

(2.55)

Sehingga,

(2.56)

Dan akan menghasilkan

(2.57)

Dan kemudian

(2.58)

Kita bisa menyatakan bahwa tanda dari sebuah fungsi gelombang dapat berubah atau tidak, ketika sebuah pasangan partikel yang identik dipertukarkan koordinat geometriknya.

Sifat dari partikel akan menentukan yang mana dari dua kemungkinan tersebut yang dapat terjadi.

  1. Untuk tanda yang tidak berubah dengan sebuah perkalian +1, fungsi gelombangnya simetrik terhadap pertukaran koordinat dan partikel tipe ini disebut sebagai partikel Bose atau boson.
  2. Untuk tanda yang berubah dengan sebuah perkalian -1, fungsi gelombangnya antisimetrik terhadap pertukaran koordinat dan partikel tipe ini disebut sebagai partikel Fermi atau fermion.

Prinsip Pauli menunjukkan bahwa elektron adalah fermion dan fungsi gelombang akan berubah tandanya jika terjadi pertukaran koordinat.

Jika sebuah fungsi gelombang simetrik diijinkan untuk elektron-elektron, ini akan berlawanan dengan prinsip Pauli. Sebagai contoh, marilah kita mengasumsikan bahwa terdapat dua elektron menempati orbital 1s dengan spin α. Fungsi gelombang Ψ yang berkaitan dengan asumsi ini dinyatakan dengan fungsi orbital φ1s sebagai berikut.

(2.59)

Sekarang, marilah kita menukarkan koordinat dari nomor 1 dan nomor 2 dan kemudian kita mendapatkan

(2.60)

Ini secara jelas menunjukkan simetri fungsi gelombang untuk boson. Dengan kata yang lain, jika elektron-elektron tersebut adalah foston, akan ada dua atau lebih elektron yang menempati keadaan 1s yang sama dalam atom. Akan tetapi, keadaan ini akan berlawanan dengan prinsip Pauli.

Di sisi lain, untuk fungsi gelombang yang simetrik, tidak ada keadaan yang berlawanan dengan prinsip Pauli yang dapat diterima. Gambaran ini dapat dengan mudah dilihat ketika sebuah fungsi gelombang determinan, yang diusulkan oleh J. C. Slater dan disebut sebagai determinan Slater, digunakan.

Marilah kita memperkenalkan fungsi orbital ψ1, dan ψ2 yang juga terkandung koordinat spin sebagai tambahan dari koordinat spasial. Kita menulis fungsi gelombang Ψ untuk sistem dengan 2 elektron sebagai determinan berikut.

(2.61)

Setelah melakukan ekspansi, kita akan mendapatkan persamaan berikut yang menunjukkan karakter antisimetrik.

(2.62)

Harus dicatat di sini bahwa Hamiltonian Ĥ invarian terhadap pertukaran koordinat dari partikel identik dan bahwa jika Ψ = ψ1(q12(q1) adalah sebuah solusi dari Ĥψ = Eψ, maka ψ = ψ1(q22(q2) juga merupakan solusi dari Ĥψ = Eψ. Ini akan diikuti dengan keadaan bahwa determinan di atas memenuhi hubungan ĤΨ = EΨ. Dengan menggunakan determinan yang diusulkan oleh Slater, kita dapat membangun sebuah fungsi gelombang antisimetrik yang terdiri dari fungsi-fungsi orbital.

Sekarang kita mengasumsikan lagi bahwa ada dua elektron yang menempati orbital 1s dengan spin yang sama yaitu spin α. Dalam kasus ini , ψ1 = φ1s .α, ψ2 = φ1s .α, atau ψ1s = ψ2. Dengan demikian, kita dapat mengabaikan indeks dengan ψ1 = ψ2 = ψ. Fungsi gelombang determinan untuk sistem ini akan menjadi

(2.63)

Nilai yang sama dengan nol pada determinan ini adalah hasil yang pasti berkaitan dengan aturan umum dari determinan bahwa sebuah determinan dengan sebuah pasangan pada baris yang sama atau kolom yang sama akan sama dengan nol. Jika aturan ini digunakan, determinan dalam persamaan (2.63) dengan mudah akan diketahui sama dengan nol tanpa perlu dilakukan ekspansi. Berdasarkan pada hasil ini, dengan mudah terlihat bahwa sebuah konfigurasi elektron yang menempati orbital dan melanggar prinsip Pauli akan menghasilkan fungsi gelombang yang secara fisik tidak dapat dimungkinkan dengan sebuah nilai yang sama dengan nol atau mengindikasikan ketidakberadaan partikel. Perhatian yang lebih detail dan hati-hati telah menunjukkan bahwa fungsi gelombang yang antisimetrik, kompatibel dengan prinsip Pauli. Ini akan memberikan pemahaman bahwa elektron adalah fermion dengan karakter antisimetrik.

Karenanya, lebih mudah untuk menyatakan sebuah fungsi gelombang atom banyak sebagai sebuah determinan dari sebuah matrik dengan di dalamnya tersusun fungsi orbital. Sebuah fungsi gelombang determinan dibentuk dari fungsi orbital ternormalisasi sebagai sebuah fungsi untuk elektron banyak, dengan menyatakan bahwa sebuah faktor 1/N! ada di dalamnya. Dalam usaha untuk menyatakan sebuah fungsi gelombang determinan dalam bentuk yang singkat, kita dapat menuliskannya sebagai |ψ1ψ2…ψN| melalui sebuah barisan fungsi orbital {ψ1i} di antara sebuah pasangan garis vertikal.

Sebuah susunan dari fungsi orbital dalam sebuah bentuk matriks adalah ekivalen dengan membuat sebuah konfigurasi elektron yang berkaitan dengan keberadaan elektron pada masing-masing orbital. Ini, dengan kata lain mengakibatkan bahwa elektron akan menempati tingkat energi masing-masing. Dengan demikian, keadaan di mana elektron menempati orbital atau tingkat tertentu disebut sebagai konfigurasi elektron atau konfigurasi elektronik. Fungsi gelombang determinan digunakan sebagai perumusan matematik dari konfigurasi elektron. Metoda konseptual untuk membuat konfigurasi elektron dapat dipahami sebagai pengisian orbital oleh elektron.

Pembentukan fungsi gelombang determinan tidak memiliki kelebihan fisik yang penting jika nilainya sama dengan nol berlawanan dengan keberadaan elektron-elektron. Untuk dapat menghindari situasi yang tidak wajar, kehati-hatian harus dilakukan sedemikian rupa sehingga tidak ada fungsi orbital yang identik yang berada dalam barisan orbital dalam determinan atau dengan kata lain, kita tidak menggunakan kombinasi yang sama dari sebuah fungsi koordinat spasial dan sebuah fungsi spin lebih dari sekali dalam determinan. Penggunaan fungsi gelombang determinan menjamin dipenuhinya sifat antisimetrik elektron, dan karenanya konfigurasi elektron yang tidak sejalan dengan prinsip Pauli secara otomatis dapat dihindari karena nilai dari determinan yang demikian itu sama dengan nol.
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

2.5 Konfigurasi elektron dalam atom

Berdasarkan atas eksperimen spektroskopi dan studi kuantum teori, konfigurasi elektron dalam keadaan dasar dari atom dapat ditentukan dan ditunjukkan dalam Tabel 2.4.

[Prinsip penyusunan konfigurasi elektron dalam atom]

Konfigurasi elektron dalam keadaan dasarnya dalam atom dapat disusun dengan menggunakan aturan sebagai berikut:

  1. Elektron cenderung untuk menempati orbital dengan energi terendah berdasarkan urutan dari tingkat energi orbital.
  2. Urutan dari energi orbital adalah sebagai berikut.
  3. (2.64)

    Orbital yang berada disebelah kiri lebih stabil dengan energi yang lebih rendah dibandingkan dengan orbital yang berada di sebelah kanannya dalam urutan di atas. Di antara orbital yang berada dalam tanda kurung, yang ditulis disebelah kiri akan terlebih dahulu ditempati, meskipun urutannya kadang-kadang dapat terbalik.

  4. Prinsip Pauli harus dipenuhi. Dengan kata lain pengisian orbital yang diperbolehkan adalah satu dari empat kasus berikut.
  5. Orbital ns diisi oleh 0~2 elektron.
  6. Orbital np diklasifikasikan ke dalam tiga jenis npx, npy, npz, dan setiap orbital ditempati oleh 0~2 elektron. Secara keseluruhan orbital np ditempati oleh 0~6 elektron. Terdapat lima jenis untuk orbital nd. Setiap orbital diisi oleh 0~2 elektron. Secara keseluruhan orbital nd akan ditempati oleh 0~10 elektron. Terdapat tujuh jenis orbital nf. Setiap orbital akan ditempati oleh 0~2 elektron. Secara keseluruhan orbital nd akan ditempati oleh 0~14 elektron.

  7. Konfigurasi di mana dua atau lebih elektron menempati orbital dengan energi yang sama harus mengikuti aturan Hund.
  8. Aturan Hund (1) Elektron terpisahkan dalam orbital-orbital yang sangat berbeda terlebih dahulu.

    Aturan Hund (2) Spin disejajarkan secara paralel.

Aturan Hund (1) adalah sebuah aturan yang mengurangi peningkatan energi interaksi yang disebabkan oleh gaya tolak-menolak antar elektron dan dengan demikian pemisahan elektron dalam orbital yang berbeda semakin efektif. Aturan Hund (2) adalah sebuah kecenderungan bahwa spin dengan arah yang sama cenderung untuk menjadi stabil. Dengan memperhatikan aturan-aturan ini akan menuju pada susunan berikut dari energi total untuk konfigurasi elektron dari sistem dengan dua elektron dalam sebuah pasangan dengan orbital yang ekivalen.

(2.65)

Sebagai contoh, marilah kita menyusun konfigurasi elektron untuk atom Ga dengan bilangan atom 31. Orbital 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s dan orbital 3d diisi oleh 2+2+6+2+6+2+10 = 30 elektron. Sisa elektron 31 – 30 = 1 menempati orbital sebuah 4p. Dengan demikian maka, konfigurasi elektron dari sebuah atom Ga, [Ga] dinyatakan sebagai berikut:

Orbital yang berada dalam tanda kurung ( ) menyatakan orbital dengan bilangan kuantum utama n yang sama dan bilangan kuantum azimut l, yang merupakan sebuah bagian dari kulit elektron dan dengan demikian disebut sebagai subkulit. Indeks atas yang berada di sebelah kanan pada ( ) menyatakan jumlah total elektron yang menempati subkulit. Ketika jumlah elektronnya adalah sama dengan 1, angka 1 pada bagian sebelah kanan dapat dihilangkan di antara semua kulit elektron yang memiliki elektron, kulit elektron dengan nilai n terbesar disebut sebagai kulit terluar. Dalam kasus Ga, n ≤ 4 dan dengan demikian Kulit N adalah kulit terluar.

Contoh tipikal konfigurasi elektron yang lain ditunjukkan untuk beberapa atom berikut:

Contoh konfigurasi elektron dari beberapa atom.

Harus dicatat di sini bahwa konfigurasi elektron untuk Cr dan Cu memiliki perkecualian dalam urutan dalam tanda kurung ( ) seperti dalam aturan (2) dalam prinsip penyusunan orbital; konfigurasi subkulit (4s) adalah (4s)1 bukan halnya (4s)2 dan satu elektron sisanya akan menempati sebuah orbital 3d sehingga menghasilkan subkulit (3d) yang terisi setengah dengan konfigurasi (3d)5 atau konfigurasi penuh (3d)10.

Contoh 2.4 Tunjukkan konfigurasi elektron dari sebuah atom karbon dengan menggunakan tingkat-tingkat energi elektron.

(Jawaban) Konfigurasi elektron sebuah atom C adalah

Karena orbital atomik hingga 2p diisi oleh elektron-elektron, tingkat energi elektron dari 1s hingga 2p harus ditunjukkan dan tingkat energi yang lebih tinggi dapat diabaikan. Menurut aturan Hund (1) dan (2), konfigurasi untuk subkulit (2p) akan berubah menjadi konfigurasi spin paralel sebagai berikut.

Tabel 2.4 Konfigurasi elektron untuk keadaan dasar atom dan term simbolnya.

(Catatan) dalam perioda ke-6 dan 7, jumlah total elektron hanya ditunjukkan untuk kulit K, L dan M karena mereka terisi penuh.
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

2.6 Periodisitas

Sifat dari unsur-unsur menunjukkan sebuah periodisitas (perulangan) yang berasal dari periodisitas konfigurasi elektronnya. Dalam bagian ini, energi ionisasi dan afinitas elektron dipelajari dalam hubungannya dengan periodisitas. Pertama, hasil-hasil eksperimen akan ditinjau dan dilihat dan kemudian hubungannya dengan konfigurasi elektron akan dibahas.

2.6.1 Energi ionisasi dan afinitas elektron

Energi yang diperlukan untuk membuat n+1 keadaan valensi ionik dengan mengeluarkan sebuah elektron dari keadaan valensi ionik n dari sebuah bahan disebut sebgai energi ionisasi ke n+1. Definisi ini dapat digunakan pada n = 0. Dalam kasus n = 0, energi yang diperlukan untuk mengeluarkan sebuah elektron dari bahan yang netral disebut sebagai energi ionisasi pertama. Biasanya energi ionisasi tercatat sebagai energi ionisasi pertama. Gambar 2.8 dan Tabel 2.5 menunjukkan periodisitas dari energi ionisasi pertama dari atom-atom dan gambaran atas sifat utamanya adalah sebagai berikut.

Gambar 2.8 Periodisitas dari energi ionisasi

Gambaran (1) Berkaitan dengan meningkatnya bilangan atom dan nilai-nilai maksimum ditemukan pada atom-atom gas mulia.

Gambaran (2) Berkaitan dengan meningkatnya bilangan atom, nilai minimum dengan penurunan yang tiba-tiba dari atom-atom gas mulia ditemukan pada atom-atom logam alkali.

Gambaran (3) Dalam baris yang sama dalam tabel periodik, kecenderungan meningkat diketahui terjadi pada keseluruhan baris berangkat dari atom logam alkali hingga atom gas mulia.

Gambaran (4) Gambaran detail sepanjang baris yang sama pada tabel periodik menunjukkan nilai maksimum yang kecil pada grup kedua atau grup kelima dengan nilai minimum pada grup berikutnya.

Gambaran (5) Dalam grup yang sama, kecenderungan penurunan ditemukan jika kita bergerak ke bawah dalam tabel periodik.

Tabel 2.5 Energi ionisasi untuk beberapa atom (eV)

Energi yang dilepaskan pada saat sebuah elektron diserap oleh sebuah material yang secara elektrik netral disebut sebagai afinitas elektron, dan ekivalen dengan energi yang diperlukan untuk mengeluarkan sebuah elektron dari sebuah ion negatif monovalen. Afinitas elektron untuk atom-atom juga menunjukkan variasi periodik sebagaimana ditunjukkan dalam Tabel 2.6. Meskipun kecenderungannya untuk variasi sepanjang urutan vertikal dan horizontal dalam tabel periodik secara umum sama dengan energi ionisasi, posisi tempat nilai maksimum yang besar bergeser dari atom-atom gas mulia ke atom-atom halogen dan nilai minimumnya bergeser ke atom-atom gas mulia.

Tabel 2.6 Afinitas elektron untuk beberapa atom (eV)

Berbagai metoda diusahakan untuk menentukan energi W yang diperlukan untuk memindahkan sebuah elektron. Sebagai contoh, berdasarkan sebuah metoda yang mirip dengan metoda yang digunakan untuk mempelajari efek fotolistrik, energi kinetik elektron ½mv2 yang dilepaskan dari suatu bahan melalui proses radiasi dengan sebuah foton hυ dapat ditentukan dan kemudian W dapat diperoleh dengan rumus sebagai berikut.

(2.66)

Metoda ini sering digunakan untuk menentukan energi ionisasi dan afinitas elektron.

2.6.2 Muatan inti efektif dan aturan untuk menghitung konstanta perisai

Dalam memperhitungkan periodisitas dalam konfigurasi elektron, muatan efektif dari inti atom secara dekat berkaitan dengan periodisitas dalam energi ionisasi dan afinitas elektron. Marilah kita mempelajari bagaimana muatan inti efektif bergantung pada efek perisai sebagaimana yang dijelaskan pada bagian 2.3.

Dalam usaha untuk mendapatkan muatan inti efektif , konstanta perisai s harus ditentukan disamping bilangan atom Z. Konstanta perisai s dapat dengan mudah diperkirakan dengan menggunakan aturan-aturan sebagai berikut.

[Aturan-aturan untuk menghitung konstanta perisai]

  1. Karena efek perisai disebabkan oleh gaya tolak-menolak oleh elektron yang lain terhadap elektron yang menjadi perhatian, konstanta perisai dapat diperkirakan sebagai penjumlahan atas kontribusi seluruh elektron-elektron secara individual.
  2. Karena efek perisai sangat bergantung pada lokasi elektron lokasi elektron-elektron, baik itu di sebelah dalam atau luar dari elektron yang menjadi perhatian, sebagaimana disebutkan dalam bagian 2.3, posisi-posisi relatif dari orbital elektron diklasifikasikan dalam kelompok-kelompok berikut dan dipisahkan dengan garis miring.
  3. Dari kiri ke kanan, orbital berkembang dari yang terdalam hingga yang terluar. ns dan np berada pada kelompok yang sama dengan memperhatikan kesamaan lokasi dari orbital-orbital ini.

  4. Kontribusi yang diberikan oleh elektron dalam kelompok terluar adalah sama dengan 0, karena mereka tidak menyebabkan efek perisai.
  5. Kontribusi oleh elektron dalam kelompok yang sama dapat dinyatakan sebesar 1/3, dikarenakan efek perisai yang tidak lengkap dan berkaitan juga dengan probabilitas relatif dari elektron-elektron tersebut berada pada daerah yang lebih dalam.
  6. Kontribusi dari elektron dari kelompok dalam adalah sama dengan 1, karena elektron dalam akan memberikan efek perisai yang lengkap.

Aturan-aturan di atas merupakan versi yang lebih sederhana dari aturan Slater pada tahun 1930, yang mana bagian utama saja yang digunakan. Aturan (1)-(3) adalah sama. Dan untuk aturan (4), Slater memperkenalkan sedikit perbedaan untuk 1s dan orbital yang lain, 0.3 untuk 1s dan 0.35 untuk yang lainnya. Aturan (5) adalah sama kecuali untuk elektron pada ns dan np, di mana Slater meninjau elektron dalam (n-1)s atau (n-1)p memiliki kontribusi sebesar 0.85 untuk perisai terhadap elektron yang berada pada kulit ke-n, disebabkan oleh efek perisai yang tidak lengkap dan dikarenakan oleh kulit elektron yang saling tumpang tindih. Aturan Slater telah digunakan untuk membangun fungsi orbital atomik dengan perlakuan yang sederhana untuk berbagai atom dan mereka memainkan peranan yang sangat penting terutama pada saat-saat awal perkembangan kimia kuantum. Fungsi orbital atomik dengan bentuk yang diusulkan oleh J. C. Slater disebut sebagai orbital tipe Slater (Slater Type Orbital/STO) dan digunakan dalam paket program terakhir untuk kimia kuantum.

2.6.3 Muatan efektif inti dan energi ionisasi

Elektron yang tidak terikat secara erat dalam kulit elektron terluar adalah elektron yang penting yang harus ditinjau untuk menentukan energi ionisasi atom. Marilah kita memperkirakan muatan efektif inti untuk sebuah elektron di kulit elektron terluar dengan menggunakan aturan konstanta perisai yang sebutkan sebelumnya. Sebagai contoh, kita akan memperhatikan efek perisai pada sebuah elektron 2p pada sebuah atom Flor, F(Z = 9). Konfigurasi elektron untuk sebuah atom F adalah sebagai berikut:

Pada sisi sebelah dalam dari elektron 2p yang ditinjau, terdapat dua elektron 1s yang akan memberikan kontribusi sebesar 1 x 2 berdasarkan aturan (5). Dalam daerah yang sama dengan 2p, terdapat enam elektron secara bersama-sama, yaitu dua elektron 2s dan empat elektron (5-1 = 4) dalam 2p dan akan memberikan kontribusi sebesar 1/3 x 6 berdasarkan aturan (4). Dengan demikian, s = 1×2 + 1/6 = 4, dan ini akan menghasilkan muatan inti efektif sebesar = Z − s = 9 − 4 = 5

Tabel 2.7 menunjukkan muatan efektif inti untuk sebuah elektron dalam kulit terluar pada atom dari hidrogen H hingga argon Ar, yang diperkirakan dengan menggunakan aturan di atas untuk konstanta perisai. Gambaran (1)-(5) memberikan bahwa periodisitas dalam energi ionisasi sekarang dapat dibahas dengan menggunakan muatan inti efektif sebagaimana terdapat dalam tabel. Karena energi ionisasi meningkat, ini berkaitan dengan meningkatnya gaya tarik-menarik oleh inti dan harus memberikan dua kecenderungan berikut.

(Kecenderungan 1): Energi ionisasi meningkat dengan meningkatnya muatan inti efektif dan disebabkan oleh kebergantungan gaya Coulomb pada muatan listrik.

(Kecenderungan 2): Energi ionisasi akan menurun jika kulit elektron semakin berada di luar dan ini disebabkan oleh kebergantungan gaya Coulomb atas jarak.

Dalam baris di dalam tabel periodik, elektron valensi akan berada pada kulit elektron yang sama dan muatan inti efektif akan meningkat jika bergerak dari kiri ke kanan. Hal ini mengikuti kecenderungan 1 dan menjelaskan gambaran 3 bahwa sepanjang baris yang sama energi ionisasi akan meningkat dari kiri ke kanan. Jika kita bergerak dari sisi ujung sebelah kanan menuju puncak dari baris berikutnya, kulit elektron akan bergerak menuju daerah lebih luar (kecenderungan 2) yang berkaitan dengan penurunan tiba-tiba dari muatan inti efektif (kecenderungan 1) dan karenanya kecenderungan-kecenderungan ini menjelaskan nilai maksimum pada sisi ujung di sebelah kanan (gambaran 1) dan minimum pada ujung sebelah kiri (gambaran 2). Pada grup yang sama muatan inti efektif adalah sama kecuali untuk perubahan antara He dan Ne dalam atom-atom gas mulia dan kulit elektron terluar memberikan kontribusi pada unsur yang lebih rendah. Ini akan memberikan situasi di mana baris yang lebih rendah akan memberikan energi ionisasi yang lebih rendah (gambaran 5). Pada perubahan pada He dan Ne, sangat sulit untuk menebak susunan relatif dikarenakan kecenderungan 1 dan kecenderungan 2 bekerja secara berlawanan. Nilai hasil eksperimen menunjukkan penurunan yang berbeda dari He ke Ne dan ini menunjukkan akan kecenderungan 2, efek dari jarak dari kulit K hingga L, lebih penting pada besaran energi ionisasi. Efek ini dapat juga dipahami dari penurunan yang besar pada energi ionisasi dari 13.6 eV (H) menjadi 5.4 eV (Li) meskipun terdapat kesamaan muatan efektif inti.

Gambaran 4 untuk nilai eksperimental dari energi ionisasi mengandung perubahan lebih lanjut dan ini tidak dapat dijelaskan dengan kecenderungan 1 dan kecenderungan 2. Perubahan dari grup 2 hingga ke grup 13 adalah disebabkan oleh perubahan pada subkulit elektron dari ns hingga np. Sebuah elektron dalam sebuah orbital s memiliki probabilitas yang tinggi untuk mendekati inti dibandingkan dengan elektron dalam sebuah orbital p. Karena energi potensial dari interaksi Coulomb adalah berbanding dengan kebalikan dari jaraknya, kelakuan di sekitar ini adalah yang paling efektif. Dengan demikian maka efek perisai dari elektron s jauh lebih kecil dibandingkan dengan elektron p. Ini akan mengakibatkan bahwa muatan inti efektif untuk elektron s menjadi lebih besar dibandingkan dengan untuk elektron p. Efek ini menjelaskan perbedaan dari energi ionisasi jika kita bergerak dari grup 2 hingga grup 13. Perubahan dari grup 15 menuju grup 16 dapat dipahami dengan jelas ketika konfigurasi elektron dari atom N dan O dibandingkan secara lebih detil. N memiliki konfigurasi [He](2s)2(2px)2(2py)1(2pz)1, sementara O memiliki sebuah konfigurasi [He](2s)2(2px)1(2py)1(2pz)1. Dalam sebuah atom O, sebuah elektron ditambahkan dalam orbital 2p yang sama, yang mengakibatkan tolakan elektron yang lebih besar untuk meningkatkan energi elektron dalam kulit elektron terluar dan karenanya ionisasi energi akan menurun.

Tabel 2.7 Muatan inti efektif untuk sebuah elektron dalam kulit elektron terluar.

2.6.4 Muatan inti efektif dan afinitas elektron

Sekarang marilah kita mempelajari periodisitas afinitas elektron dalam atom dengan didasarkan pada muatan inti efektif. Karena afinitas elektron sama dengan energi untuk mengambil sebuah elektron tambahan, kita mempertimbangkan muatan inti efektif untuk sebuah elektron pada kulit elektron terluar dalam ion mononegatif. Untuk sebuah elektron 2p dari ion F (Z = 9) sebagai contoh, konfigurasi elektron untuk ion F diberikan oleh

Terdapat dua elektron 1s di sisi dalam dari elektron 2p yang dipilih dan dengan demikian efek perisainya akan bernilai 1 x 2 berdasarkan aturan (5). Elektron dalam grup yang sama dengan elektron 2p yang dipilih seluruhnya berjumlah tujuh, dua elektron 2s dan 6 窶・1 = 5 elektron 2p yang akan memberikan kontribusi sebesar &frac13;7 secara keseluruhan berdasarkan aturan (4). Ini akan memberikan konstanta perisai menjadi s = 1 x 2 + &frac13; x 7 = 13/3 = 4.33. Dengan demikian muatan inti efektif dapat diperkirakan dan diperoleh = Z − s = 9 − 13/3 = 14/3 = 4,67. Jika sebuah ion negatif dibentuk untuk sebuah atom Ne dengan sebuah bilangan atom Z = 10 , elektron terluar dari Ne adalah berada dalam sebuah orbital 3s. Konstanta perisai untuk elektron 3s ini menjadi s = 10 , karena bilangan dari elektron terdalamnya adalah 10. Karenanya, muatan ini efektif menjadi = 10 − 10 = 0.

Tabel 2.8 memberikan muatan inti efektif untuk sebuah elektron yang berada pada kulit terluar dari sebuah ion mononegatif dari atom hidrogen H hingga argon Ar.

Tabel 2.8 Muatan inti efektif untuk sebuah elektron dalam kulit elektron terluar dalam ion mononegatif

Meskipun periodisitas dari muatan inti efektif untuk ion mononegatif sama dengan untuk atom netral, posisi dari nilai maksimum dan nilai minimum bergeser ke bilangan atom yang lebih rendah masing-masing sebanyak satu. Ini akan mengakibatkan bahwa afinitas elektron akan memberikan nilai maksimumnya pada atom halogen dan minimumnya pada atom gas mulia. Nilai maksimum dan minimum yang kecil sebagaimana pada gambaran 4 dalam energi ionisasi juga ditemukan pada posisi yang bergeser ke kiri sebanyak satu; pada grup 2 dan 15, nilainya akan menjadi lebih kecil terhadap atom yang berada di sebelah kirinya.
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

2.7 Atom tereksitasi dan term simbol

Dalam sebuah atom hidrogenik, keadaan n ≥ 2 disebut sebagai keadaan tereksitasi. Atom-atom dalam keadaan tereksitasi dengan ekses energi lebih besar dibandingkan energi keadaan dasar (n = 1) disebut sebagai atom-atom tereksitasi. Atom tereksitasi dapat dibentuk melalui kelebihan energi yang berasal reaksi kimia dalam sebuah pembakaran atau lecutan listrik. Berlawanan dengan atom hidrogenik, konfigurasi dari atom-atom tereksitasi secara umum sangat rumit, karena terdapat dua atau lebih elektron-elektron. Sekarang marilah kita mempelajari fungsi gelombang keadaan tereksitasi dari sebuah atom helium sebagai suatu contoh untuk sistem dengan elektron banyak. Kemudian kita akan juga mempelajari term simbol yang mana akan sangat berguna dalam klasifikasi spektroskopi tingkat-tingkat energi dan juga hubungannya dengan momentum sudut angular.

2.7.1 Keadaan dasar sebuah atom helium

Sebagaimana telah dipelajari, konfigurasi elektron untuk keadaaan dasar atom helium adalah (1s)2. Dan hal ini berkaitan dengan fungsi gelombang determinan untuk konfigurasi ini yang diberikan oleh

(2.67)

Dalam hal ini, koordinat elektron dinyatakan secara sederhana dengan nomor 1 atau 2 sebagai ganti penulisan q1 atau q2. ψ1 dan ψ2 adalah fungsi orbital dari elektron termasuk di dalamnya spin dan mereka itu dibentuk dari sebuah kombinasi dari fungsi orbital dari koordinat spasial φ1s dan fungsi spin α atau β.

(2.68)

(2.69)

Dengan menggunakan persamaan-persamaan ini dan memperluas determinan di atas, kita akan mendapatkan rumus berikut.

(2.70)

φ1s(1)φ1s(2) dalam rumus ini adalah simetrik terhadap permutasi elektron-elektron, sementara yang berada di dalam tanda { } bergantung pada spin dan bersifat antisimetrik terhadap permutasi dari elektron. Selanjutnya hal ini akan mengakibatkan bahwa secara keseluruhan rumus ini adalah simetrik(+1) x antisimetrik(-1) = antisimetrik(-1).

2.7.2 Keadaan tereksitasi dari sebuah atom helium

Marilah sekarang kita meninjau sebuah konfigurasi elektron (1s)1(2s)1, yang mana sebuah elektron dieksitasikan ke orbital 2s dari orbital 1s. Termasuk juga spin elektron, kita akan mendapatkan empat buah konfigurasi (a)-(d) sebagaimana ditunjukan dalam Gambar 2.9.

Dengan menggunakan fungsi orbital spasial φ1s dan φ2s bersama dengan fungsi spin α, β, marilah kita membentuk fungsi dengan sistem dua elektron. Kita akan mendapatkan fungsi simetrik dan antisimetrik sebagai berikut.

Gambar 2.9 Konfigurasi elektron untuk (1s)1(2s)1

Fungsi simetrik untuk bagian spasial diberikan oleh

(2.71)

Dan fungsi antisimetriknya untuk bagian spasialnya diberikan oleh

(2.72)

Terdapat tiga fungsi simetrik untuk bagian spin sebagai berikut

Dan fungsi spin antisimetrik diberikan oleh

(2.76)

Kombinasi dari fungsi-fungsi ini akan menghasilkan fungsi antisimetrik sebagai berikut.

Untuk fungsi spasial yang simetrik, terdapat hanya satu fungsi spin yang antisimetrik dan dengan demikian kita akan memperoleh

(2.77)

Keadaan tereksitasinya yang dinyatakan dengan persamaan ini disebut sebagai keadaan singlet.

Untuk fungsi spasial yang antisimetrik, terdapat tiga fungsi spin yang simetrik yang akan menghasilkan tiga buah kombinasi dari fungsi antisimetrik sebagai berikut.

Keadaan tereksitasi yang dinyatakan dengan fungsi-fungsi ini disebut sebagai keadaan triplet. Eksperimen menunjukkan bahwa keadaan triplet jauh lebih stabil dengan energi yang lebih rendah jika dibandingkan dengan keadaan singlet. Ini dapat dikonfirmasi dengan perhitungan teoritis terhadap nilai ekspektasi. Energi-energi untuk Φ2, Φ3, Φ4 adalah sama dan mereka adalah keadaan terdegenerasi lipat tiga.

2.7.3 Momentum sudut dan simbol spektral untuk sistem elektron banyak

Dalam usaha untuk memahami keadaan tereksitasi dari atom-atom, momentum sudut perlu untuk dipelajari secara detil. Sebagaimana telah dipelajari pada bagian 1.13, momentum sudut adalah sebuah vektor dengan besaran dan arah. Momentum sudut angular dari sebuah sistem elektron banyak diberikan sebagai sebuah penjumlahan vektor dari setiap momentum sudut elektron-elektronnya dan disebut sebagai momentum sudut resultan. Penjumlahan yang demikian itu dapat dilakukan untuk momentum suidut orbital Îi, momentum sudut spin i dan momentum sudut total yang merupakan penjumlahan i = Îi + i. Dengan demikian, momentum sudut orbital resultan , momentum sudut spin resultan dan momentum sudut total resultan didefinisikan dengan persamaan-persamaan berikut.

Karena i = Îi + i, kita akan mendapatkan = +

Ketiga tipe momentum sudut untuk elektron akan memenuhi persamaan eigen sebagai berikut

Indeks bawah i harus dipasangkan pada operator dan bilangan kuantum dalam usaha untuk menandai elektron ke-i. Bilangan kuantum m untuk komponen harus memiliki indeks bawah yang menyatakan l, s, j.

Momentum sudut resultan yang diperkenalkan di atas harus juga memenuhi persamaan eigen yang sama sebagai berikut.

L, S, J adalah bilangan kuantum yang berhubungan dengan kuadrat dari operator dan ML, MS, MJ adalah bilangan kuantum yang berhubungan dengan komponen-komponennya. ML, MS, MJ sama dengan penjumlahan dari sumbangan tiap-tiap elektron.

Dengan menggunakan bilangan kuantum untuk momentum sudut resultan L, S, J dan bilangan kuantum utama n, tingkat energi atomik dinyatakan dengan simbol sebagai berikut.

(2.99)

Simbol ini sangat berguna dan penting, khususnya dalam spektroskopi atomik dan ini disebut sebagai term simbol. n adalah nilai maksimum di antara bilangan kuantum utama dari elektron dan nilai ini ditempatkan di atas. Untuk simbol {L} huruf besar S, P, D, F, G, H digunakan berkaitan dengan nilai L = 0, 1, 2, 3, 4, 5,. 2S + 1 disebut sebagai perkalian spin dan nilainya dihitung dari nilai S yang diletakkan pada bagian sebelah kiri dari huruf seperti S dan P yang berkaitan dengan simbol {L}; indeks atas untuk huruf {L} akan menjadi 3 untuk triplet dan 1 untuk singlet. Nilai dari J diletakkan sebagai indeks bawah pada sisi sebelah kanan dari hurif {L}. n dan J sering tidak dituliskan untuk penyingkatan kecuali pada saat dia diperlukan.

dan adalah saling berkomutasi dengan Ĥ, operator Hamiltonian untuk sebuah atom berelektron banyak yang diberikan dalam persamaan (2.31). Karenanya, tingkat energi yang berkaitan dengan term simbol dengan kombinasi yang sama untuk L dan S dan konfigurasi elektron yang sama dan disebut sebagai bagian LS, adalah identik dan terdegenerasi. Untuk kasus terdegenerasi, indeks bawah sebelah kanan J dapat diabaikan, karena mereka tidak terlalu penting. Akan tetapi eksperimen terkadang

menunjukkan pemisahan dari bagian LS. Salah satu penyebabnya adalah interaksi spin-orbit, yang menghasilkan pemisahan yang proporsional hingga derajat ke empat dari bilangan atomik Z. Sehingga, efek ini akan sangat penting pada atom-atom berat. Pada sisi yang lain, terdapat pemisahan yang disebabkan oleh medan magnetik luar yang disebut sebagai efek Zeeman.

Dalam kasus atom hidrogenik, adalah sangat mudah untuk mendapatkan term simbol, karena sistemnya memiliki satu elektron. Sebagai contoh, marilah kita meninjau sebuah keadaan dari satu elektron 2p. Karena sebuah elektron 2p, n = 2 dan s = 1/2 dengan ms = ±1/2. Untuk sebuah sistem elektron tunggal, Ms = ms dan dengan demikian S = 1/2 dan kemudian akan menghasilkan perkalian spin 2S + 1 = 2 x (1/2) + 1 = 2, yang disebut sebagai doblet. Dalam hal yang sama, yaitu Ml = ml dan dengan demikian maka L = 1 dan ini akan berkaitan dengan huruf P untuk simbol {L}. Untuk menentukan besaran J, kita harus mengetahui aturan untuk nilai yang diijinkan untuk momentum sudut yang terkopel.

[Aturan untuk nilai-nilai yang mungkin dari momentum sudut yang terkopel]

Kita memperkenalkan sebuah momentum sudut terkopel = 1 + 2 di mana 1 dan J2 kedua-duanya adalah momentum sudut yang dapat komut satu dengan yang lainnya. Dengan menggunakan bilangan kuantum J1 dan J2 untuk 1 dan 2, maka nilai yang diijinkan untuk bilangan kuantum J untuk kuadrat dari adalah sebagai berikut:

(2.100)

Karena adalah vektor yang tekopel dari L dan S , besaran dari momentum sudut terkopel memiliki nilai di antara nilai maksimum dari + dan minimum dari |L – S|. Dalam kasus sebuah elektron 2p, L = 1 dan S = 1/2, dan dengan demikian kasus yang mungkin adalah J = 1 + 1/2 = 3/2 atau J = 1-1/2 = 1/2. Term simbol untuk (2p)1 diberikan oleh

Dua bentuk simbol ini memiliki kombinasi L dan S yang sama dan mereka dalam keadaan terdegenerasi jika interaksi spin-orbit dapat diabaikan. Dalam kasus atom hidrogen pemisahan yang disebabkan oleh interaksi spin-orbit sangatlah kecil dan 2P1/2 hanya sebesar 0.365 cm-1 lebih rendah dibandingkan dengan bentuk yang lain.

Contoh 2.5 Verifikasikan bahwa fungsi spin Γ1 – Γ4 untuk sebuah sistem dengan dua elektron (persamaan 2.73-2.76) adalah fungsi eigen dari operator komponen-z dari resultan antara momentum sudut dan spin z dan dapatkan nilai individual dari Ms.

(Jawaban) Pertama turunkan persamaan-persamaan dalam bentuk zΓ = MShΓ , dan kedua dapatkan nilai dari Ms.

(1) Γ1 = α(1)α(2)

Dengan demikian Γ1 adalah sebuah fungsi eigen dari Sz, dan bilangan kuantum Ms = 1.

(2) Γ1 = β(1)β(2)

Dengan demikian Γ2 adalah sebuah fungsi eigen dari Sz, dan bilangan kuantum Ms = &minus1.

(3) Γ3 = {α(1)β(2)+β(1)α (2)}/√2

Dengan demikian Γ3 adalah sebuah fungsi eigen dari Sz, dan bilangan kuantum Ms = 0.

(4) Γ4 = {α(1) (2) – β (1) (2)}/√2

Dengan demikian Γ4 adalah sebuah fungsi eigen dari Sz, dan bilangan kuantum Ms = 0.

Berikutnya marilah kita mempelajari term simbol dari keadaan tereksitasi (1s)1(2s)1 untuk sebuah atom He. Bilangan kuantum utama terbesar adalah untuk sebuah elektron 2s dan dengan demikian n = 2. Karena seluruh elektron berada dalam orbital s dengan ml = 0, kemudian L = 0 + 0 = 0. Nilai dari S bergantung pada perlipatan (multiciplity) spin, berupa singlet atau tripet. Dari contoh 2.5, nilai yang mungkin untuk Ms adalah 0 dan ini akan memberikan kondisi S = 0 dan 2S + 1 = 0 + 1 = 1. Dari S = 0 dan L = 0, J = 0 + 0 = 0. Ini akan menghasilkan term simbol untuk keadaan singlet tereksitasi yang diberikan dengan 21S0.

Untuk keadaan tereksitasi triplet, terdapat tiga nilai dari Ms, 1 untuk Γ1, 0 untuk Γ3, dan -1 untuk Γ2, dan dengan demikian S =1. Dengan memperhatikan bahwa L = 0, kita menemukan J = 1 + 0 = 1 − 0 = 1. Ini akan memberikan term simbol keadaan tereksitasi triplet yang diberikan oleh 23S1.

Aturan-aturan berikut sangat berguna untuk mendapatkan term simbol.

[Bagaimana mendapatkan term simbol]

  1. Ketika sebuah subkulit dalam kondisi penuh terisi oleh elektron, elektron-elektron dalam subkulit dapat tidak diperhitungkan karena kontribusi pada Ms dan ML adalah sama dengan nol, sebagai contoh, untuk memperoleh term simbol untuk keadaan dasar Li (1s)2(2s)1, kita mungkin hanya memperhatikan (2s)1 dan mengabaikan (1s)2.
  2. Ketika sebuah subkulit dengan sebuah bilangan kuantum azimuth l dipenuhi oleh elektron, konfigurasinya dapat dinyatakan dengan (n{l})(4l+2), dimana l = 0, 1, 2 masing-masing berkaitan dengan s, p, d. Sebuah pasangan subkulit yang tidak terisi penuh, (n{l})(4l+2 竏・i>k) dan (n{l})(k), memberikan term simbol yang sama. Sebagai contoh, (2p)5 dan (2p)1 akan memberikan himpunan yang sama dari simbol spektral, 22P3/2 dan 22P1/2.

Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

Latihan

  1. Hitunglah energi sebuah foton yang dipancarkan dalam sebuah transisi elektron dalam ion helium monopositif dari sebuah keadaan tereksitasi dengan bilangan kuantum utama n = 2 ke keadaan dasar n = 1.
  2. Tunjukkan bahwa sebuah rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam dari orbital dy2 − z2 sebesar 45 derajat dalam bidang x-y akan membentuk orbital dxy. Buktikan bahwa orbital dz2 adalah terdiri dari kombinasi linier dari orbital dy2 − z2 dan dz2 − x2, yang mana ekivalen dengan orbital dx2 − y2
  3. Hitunglah jarak di mana fungsi distribusi radial untuk orbital 1s dan 2p dari sebuah atom hidrogen maksimum dan bandingkan dengan radius Bohr.
  4. Bangun fungsi gelombang dengan sebuah determinan Slater untuk sebuah konfigurasi elektron dari He di mana sebuah elektron menempati orbital 1s dengan spin α dan elektron yang lainnya menempati orbital 2s dengan spin α . Tunjukkan bahwa untuk fungsi gelombang ini probabilitas untuk menemukan dua elektron pada koordinat spasial yang identik akan sama dengan nol (probabilitas untuk menemukan elektron-elektron yang menempati orbital spasial yang berbeda dengan spin yang sama pada tempat yang sama adalah nol)
  5. Bangunlah konfigurasi elektron untuk sebuah ion I.
  6. Grup yang mana dalam tabel periodik yang memberikan nilai maksimum untuk energi (energi ionisasi kedua) yang diperlukan untuk menghasilkan ion dipositif dari ion monopositif, ketika energi-energi tersebut dibandingkan dengan sebagai fungsi dari bilangan atom? Grup mana yang akan memberikan nilai minimum? Jawablah pertanyaan ini dengan meninjau muatan inti efektif dalam daerah bilangan atomik dari 2 hingga 18.
  7. Tentukan semua fungsi gelombang untuk keadaan tereksitasi untuk keadaan tereksitasi dari He dimana satu elektron 1s dieksitasi ke orbital 2p. Tentukan term simbolnya.

Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

Ditulis dalam uncategorized | Sunting | Tinggalkan sebuah komentar »

PERSAMAAN GELOMBANG

Oktober 20, 2008 oleh ebenbohr

1.7 Persamaan gelombang

Pada tahun 1926, persamaan dasar yang secara inklusif menyatakan sifat partikel dan gelombang diusulkan dalam kerangka mekanika gelombang oleh Schrödinger dan mekanika matriks oleh Heisenberg. Meskipun bentuk matematika yang diusulkan oleh mereka berbeda, teori ini dibuktikan memiliki kesamaan dalam pengertian fisika yang sangat penting oleh E. Schrödinger. Dalam buku ini, persamaan fundamental untuk mekanika kuantum akan diperlakukan berdasarkan mekanika gelombang. Sebagaimana telah kita pelajari pada bagian 1.3, contoh untuk sebuah gelombang yang memiliki frekuensi v dan panjang gelombang λ direpresentasikan oleh

Dengan menggunakan sebuah rumus untuk proses diferensiasi fungsi ekponesial (deax / dx = ae ax), turunan terhadap waktu t atau posisi x akan menghasilkan persamaan berikut, masing-masing yaitu:

Harus diperhatikan bahwa simbol diferensiasi parsial ∂ digunakan untuk menggantikan d ketika jumlah variabelnya lebih dari satu. Dengan menggunakan persamaan yang menghubungkan sifat partikel dan gelombang, E = hv dan p = h/λ, kita akan mendapatkan persamaan diferensial simultan sebagai berikut yang tidak mengandung v dan λ secara eksplisit.

(1.28)

(1.29)

Di sini, h adalah sebuah konstanta yang dinyatakan sebagai (h/2π). Persamaan (1.28) dan (1.29) menghubungkan besaran partikel E dan p dengan fungsi gelombang Ψ. Marilah kita mempelajari sifat matematika dari persamaan-persamaan ini sebelum mengaplikasikannya pada beberapa sistem. Persamaan (1.28) menunjukkan bahwa operasi dari ih∂ / ∂t pada Ψ dari sisi sebelah kiri adalah ekivalen dengan sebuah perkalian sederhana dari Ψ dengan energi E. Persamaan (1.29) menunjukkan bahwa operasi dari – ih∂ / ∂x pada Ψ dari sisi sebelah kiri adalah sama dengan perkalian sederhana Ψ dengan momentum p. Operasi matematika, seperti ih∂ / ∂t dan – ih∂ / ∂x disebut sebagai operator. Operator-operator ini masing-masing berkaitan dengan energi E dan momentum p.

Untuk mengaplikasikan persamaan-persamaan simultan ini pada suatu masalah tertentu, adalah penting untuk mengetahui terlebih dahulu relasi antara E dan p. Dalam mekanika klasik sebelum lahirnya mekanika kuantum, sebuah hubungan penting antara E dan p diketahui dalam fungsi Hamilton yang merepresentasikan energi dari sistem sebagai sebuah fungsi dari momentum, p, posisi, x dan waktu, t.

(1.30)

Dengan bantuan fungsi Hamilton H, persamaan (1.28) dan (1.29) dapat digabungkan ke dalam satu persamaan. Agar hal ini dapat dilakukan, marilah kita menurunkan sebuah fungsi Hamilton untuk sebuah sistem di mana sebuah partikel dengan masa bergerak dengan energi kinetik ½mv2 dalam energi potensial U. Dapat dicatat bahwa momentum dari partikel ini p = mv, sehingga diperoleh

(1.31)

Substitusi dari persamaan ini pada sisi kanan pada persamaan (1.28) dengan menggunakan (1.30) akan menghasilkan persamaan berikut.

(1.32)

Sebagaimana dapat dilihat pada contoh ini, persamaan (1.28) dan (1.29) dapat disatukan menjadi sebuah persamaan yang mana energi E pada suku suku di sebelah kanan pada persamaan (1.28) digantikan dengan fungsi Hamiltoin yang berkaitan H dan momentum p harus digantikan dengan operator momentum .

(1.33)

Secara umum, menggantikan momentum p dalam ekspresi fungsi Hamilton dengan operator pada persamaan (1.33) kita akan memperoleh fungsi Hamilton mekanika kuantum Ĥ.

(1.34)

Ĥ disebut sebagai operator Hamilton atau Hamiltonian dengan menggunakan operator ini dua persamaan yaitu (1.28) dan (1.29) digabungkan menjadi satu persamaan yaitu

(1.35)

Persamaan ini adalah pesamaan yang paling mendasar pada mekanika kuantum dan disebut sebagai persamaan Schrödinger yang merupakan nama dari penemunya. Fungsi gelombang, Ψ dalam persamaan ini menyatakan keadaan di mana terdapat sistem materi. Arti fisis yang penting dari Ψ akan didiskusikan kemudian pada bagian yang lain.

Meskipun persamaan (1.35) dapat diturunkan dari persamaan gelombang yang sederhana, akan tetapi persamaan ini diketahui dapat diterapkan pada masalah-masalah yang umum. Perluasan dari Hamiltonian dan fungsi gelombang dalam persamaan (1.35) akan dipelajari kemudian. Prosedur untuk memecahkan persamaan gelombang dan arti dari solusi juga akan dipelajari pada bagian setelah ini.
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

1.8 Fungsi gelombang dan probabilitas menemukan partikel

Pada efek fotolistrik, intensitas cahaya (kuadrat dari amplitude gelombang elektromagnetik) yang semakin meningkat akan semakin meningkatkan jumlah foton secara linier. Dinyatakan kemudian bahwa jumlah foton adalah sebanding dengan kuadrat dari amplitude. Pada tahun 1926, Born memperluas ide ini dengan mengusulkan bahwa kuadrat dari nilai absolut dari fungsi gelombang Ψ adalah sebanding dengan probabilitas untuk mendapatkan partikel tersebut. Nilai absolut harus digunakan untuk persamaan gelombang karena gelombang dapat berupa sebuah fungsi kompleks dan bukan hanya sebuah fungsi yang riil. Kuadrat dari nilai absolut sebuah fungsi gelombang kompleks Ψ diperoleh dengan persamaan berikut.

(1.36)

Dengan Ψ* sebagai konjugat kompleks dari Ψ dan ini diberikan melalui penggantian yang sederhana dari setiap unit imajiner i yang terdapat pada ekspresi matematik Ψ dengan −i.

(1.37)

Probabilitas untuk menemukan sebuah partikel yang bergerak sepanjang sumbu x pada suatu daerah tertentu antara x dan x + dx dinyatakan sebagai |Ψ(x,t)|2dx dengan menggunakan fungsi gelombang Ψ(x,t). Karena probabilitas untuk menemukan partikel pada daerah antara x = -∞ hingga x = +∞ adalah sama dengan 1, maka integral berikut harus sama dengan 1.

(1.38)

Ini disebut sebagai kondisi renormalisasi dari sebuah fungsi gelombang. Jika kondisi ini dipenuhi, maka fungsi gelombang tersebut dikatakan ternormalisasi.

Ketika sebuah fungsi gelombang merupakan solusi dari persamaan (1.35), setiap perkalian dari fungsi gelombang tersebut dengan konstanta yang sembarang juga akan menghasilkan fungsi gelombang yang menjadi solusi dari persamaan (1.35). Solusi-solusi dari persamaan gelombang karenanya dikatakan bersifat sembarang terhadap konstanta. Kondisi renormalisasi menghilangkan sifat kesembarangan dari fungsi gelombang kecuali terhadap tandanya. Dalam kasus fungsi gelombang kompleks, makna ganda terhadap faktor fasa dengan e tidak akan berubah. Akan tetapi, faktor fasa tidak akan merubah kuadrat dari nilai absolut dan arti fisis dari persamaan gelombang tidak relevan dengan faktor fasa. Dengan demikian. Kita boleh memilih nilai secara sembarang nilai θ dari faktor fasa, sebagai contoh θ dapat dipilih sama dengan 0.

Karena turunan pertama dari fungsi gelombang ini berhubungan dengan energi E dan momentum p menurut persamaan (1.28)−(1.29), fungsi gelombang yang menyatakan sebuah keadaan dengan energi yang finit dan momentum yang harus bersifat kontinyu terhadap waktu dan posisi. Ini adalah sifat yang penting dari fungsi gelombang yang dapat diterima dan tidak dapat diabaikan ketika kita memerlukan untuk mendapatkan sebuah fungsi gelombang dengan memecahkan persamaan gelombang.

Sebelum mengakhiri bagian ini, adalah penting untuk mencatat bahwa pentingnya persamaan gelombang pada mekanika kuantum.

  1. Keadaan dari sebuah sistem dinyatakan dengan fungsi gelombang.
  2. Probabilitas sebuah partikel akan ditemukan pada sebuah posisi adalah sebanding dengan kuadrat dari nilai absolut persamaan gelombang.
  3. Fungsi gelombang akan memiliki perubahan terhadap waktu mengikuti persamaan.

Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

1.9 Keadaan stasioner dan persamaan nilai eigen

Jika energi E bebas terhadap waktu t, probabilitas untuk menemukan sebuah partikel juga akan bebas terhadap waktu t. Keadaan yang bebas terhadap waktu disebut sebagai keadaan stasioner. Ketika energi E adalah konstan, tidak bergantung dengan waktu, maka persamaan (1.28) akan mudah untuk diintegrasi terhadap waktu untuk menghasilkan persamaan berikut

(1.39)

Simbol ψ(x) adalah konstanta integrasi yang muncul dari integrasi terhadap waktu t dan dengan demikian ψ(x) akan bebas terhadap waktu meskipun ia akan bergantung pada posisi x. Meskipun fungsi gelombang untuk keadaan stasioner Ψ(x,t) dalam persamaan (1.39) berosilasi sebagai sebuah fungsi terhadap t, kuadrat dari nilai absolut dari Ψ(x,t) , yang merupakan produk dari Ψ(x,t)∗Ψ(x,t) akan tetap konstan.

Karenanya, probabilitas untuk menemukan sebuah partikel dalam keadaan stasioner adalah bebas terhadap waktu t dan menghasilkan perhitungan yang sama bahkan jika fungsi ψ(x) yang bebas terhadap waktu itu digunakan untuk menggantikan Ψ(x,t). Dengan demikian ψ(x) disebut sebagai fungsi gelombang dari keadaan stasioner. Dengan memasukkan Ψ(x,t) pada persamaan (1.39) ke dalam persamaan gelombang (1.35) dan kemudian melakukan pengaturan pada perumusan tersebut kita akan mendapatkan

(1.40)

Sehingga persamaan berikut merupakan fungsi gelombang dari keadaan stasioner ψ(x) dan dinyatakan dengan

(1.41)

Persamaan ini disebut sebagai persamaan Schrödinger untuk keadaan stasioner atau persamaan Schrödinger bebas waktu.

Contoh 1.10 Tuliskan persamaan Shrödinger bebas waktu untuk sebuah osilator harmonik satu dimensi yang mengandung sebuah partikel dengan masa m dan bergerak sepanjang sumbu-x di bawah pengaruh gaya potensial U(x) = ½kx2 (k > 0).

(Jawaban) Persamaan Schrödinger bebas waktu dinyatakan sebagai Ĥψ = Eψ . Dalam kasus ini gerak partikel dibatasi hanya pada sumbu-x, sehingga fungsi gelombang adalah sebuah fungsi terhadap x dan direpresentasikan sebagai ψ = ψ(x). Hamiltonian Ĥ yang ada pada sistem ini ada pada sistem ini diperoleh dari fungsi Hamilton H yang terdiri dari penjumlahan atas energi kinetik dan energi potensial. Untuk sistem ini, momentum p dari partikel akan menjadi energi kinetik p2 / 2m dan energi potensialnya adalah ½kx2 dan kita akan mendapatkan

Dengan demikian Hamiltonian Ĥ dapat diturunkan dengan mudah hanya dengan mengganti momentum p dengan operator = −ih∂ / ∂x dalam ekspresi terhadap H. Penggantian ini harus dilakukan dua kali untuk p2 / 2m dan kita akan mendapatkan

Energi potensial ½kx2 dapat digunakan langsung karena tidak mengan dung momentum p. Karenanya Hamiltonian Ĥ dapat dinyatakan sebagai berikut

Dengan memasukkan Hamiltonian Ĥ ini ke dalam Ĥψ = Eψ, persamaan Schrödinger bebas waktu untuk osilator harmonik satu dimensi dinyatakan sebagai berikut

Catatan: F( x) = −dU(x)/dx = −kx (k > 0) merepresentasikan gaya yang bekerja pada partikel. Sebuah partikel dalam osilator harmonik akan menerima gaya kembali (gaya balik) yang sebanding dengan jarak dari titik setimbangnya dan berosilasi di sekitar titik seimbangnya. Pergeseran sebuah benda elastis seperti pegas adalah sebanding dengan gaya yang bekerja padanya. Hal ini dikenal sebagai hukum Hooke.

dan Ĥ adalah operator yang masing-masing berhubungan dengan momentum dan energi. Sebuah operator yang berhubungan dengan sebuah satuan sembarang yang dapat diamati F(,x) dapat dimasukkan sebagai F(p,x) dengan memasukkan persamaan (1.33) ( = −h∂/∂x pada posisi p) ke dalam F(p,x). Operator berhubungan dengan sebuah koordinat kartesian x dan dinyatakan secara sederhana dengan = x , karena tidak ada faktor momentum p dalam x.

Secara umum, pilihan yang tepat dari sebuah fungsi φ akan menghasilkan Fφ yang berbanding dengan φ dan sama terhadap suatu konstanta yang dikalikan dengan φ.

(1.42)

Perkalian konstanta f adalah nilai eigen dari operator dan fungsi φ adalah nilai eigen dari operator yang berkorespondensi dengan nilai eigen f. Ketika beberapa fungsi eigen (contoh φ1 dan φ2) berkaitan dengan nilai eigen f yang sama saling bebas linier satu dengan lainnya (contoh φ1 tidak proporsional dengan φ2) nilai eigen f dikatakan sebagai generate. Jumlah dari fungsi eigen yang saling bebas berkaitan dengan nilai eigen yang sama disebut sebagai tingkat degenerasi. Persamaan (1.42) termasuk di dalamnya sebuah himpunan yang terdiri dari fungsi eigen φ dan nilai eigen f untuk operator disebut sebagai persamaan nilai eigen dari . Persamaan gelombang (1.41) untuk keadaan stasioner (persamaanschrödinger bebas waktu) adalah persamaan nilai eigen dari operator Hamiltonian Ĥ yang berhubungan dengan energi. Persamaan (1.41) memberikan himpunan fungsi eigen φ dan nilai eigen E untuk energi yang mungkin terjadi.

Dalam keadaan stasioner, energi E dan probabilitas untuk menemukan partikel adalah bebas terhadap waktu t. Akan tetapi, kita tidak harus memikirkan bahwa partikel tersebut diam pada suatu posisi tertentu. Bahkan dalam keadaan stasioner, gerak sebuah partikel harus diperhitungkan sebagai osilasi dari faktor fasa pada persamaan (1.39) yang memenuhi persamaan gelombang bebas waktu pada persamaan (1.35).
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

1.10 Sebuah partikel dalam kotak satu dimensi

Jalan terbaik untuk memahami prosedur untuk menyelesaikan persamaan gelombang dan pentingnya solusi adalah dengan mempelajari beberapa contoh. Marilah kita menyelesaikan persamaan Shrödinger bebas waktu Ĥψ = Eψ untuk sebuah partikel dengan massa m yang terkurung pada daerah (0 < x < L) pada sumbu-x (kotak satu dimensi). Hamiltonian untuk sistem ini dituliskan sebagai berikut

U(x) adalah energi potensial dari sistem yang dipelajari. Pembatasan terhadap gerakan partikel dilakukan pada U(x) dengan ketentuan sebagai berikut (Gambar 1.13)

(1.43)

Perlakuan ini secara alami akan menuju pada ketidakmungkinan untuk menemukan partikel di luar kotak. Jika ψ(x) ≠ 0 pada U(x) = +∞, maka kedua sisi pada persamaan Ĥψ = Eψ akan divergen.

Gambar 1.13 Energi potensial U(x) untuk sebuah partikel dalam sebuah kotak satu dimensi.

Karena U(x) = 0 di dalam kotak, persamaan gelombang Ĥψ = Eψ akan menjadi bentuk yang sangat sederhana yaitu

(1.44)

dimana

(1.45)

Solusi umum dari persamaan (1.44) telah diketahui dengan baik dan dituliskan sebagai berikut

(1.46)

Substitusi dari ekspresi ini pada sisi kiri persamaan (1.44) akan menghasilkan suku di sisi kanan.

Agar dapat mengambil makna atau interpretasi fisis dari ψ(x) dalam persamaan (1.46) dalam konteks teori kuantum , kita harus memperhatikan sifat kontinyu dari fungsi gelombang. Dalam kasus ini, ψ(x) harus kontinyu pada kedua sisi kotak (x = 0 dan x = L). Dengan demikian, kondisi berikut harus diperlukan.

Pada perbatasan kotak (x = 0),

dan pada perbatasan kotak yang lain (x = L),

(1.47)

(1.48)

Karena nilai yang mungkin untuk nilai eigen energi E tidak muncul, kita harus melakukan klasifikasi atas kasus-kasus yang mungkin sebagai berikut.

1) (E < 0)

Dari persamaan (1.45) κ adalah murni bilangan imajiner, dan kerenanya suku dalam tanda kurung pada sisi kiri persamaan (1.48) tidak dapat sama dengan nol. Ini akan mengakibatkan a + b = 0 dan kemudian ψ(x) = aeikx + be &minusikx = 0 untuk seluruh nilai x (0 < x < L). Jelas, ini tidak konsisten dengan dengan asumsi kita tentang partikel dalam kotak.

2) (E = 0)

Dari persamaan (1.45) κ = 0 dan ψ(x) = a + b = 0 untuk seluruh x (0 < x < L). Ini juga tidak sesuai dengan asumsi dari partikel dalam kotak.

3) (E > 0)

Dalam kasus ini κ > o dan karenanya suku dalam kurung pada sisi kiri di persamaan (1.48) dapat menjadi sama dengan 0. Kondisi ini dapat dinyatakan sebagai

(1.49)

Perlu dicatat bahwa e2ikL = 1 adalah untuk κ yang merupakan bilangan bulat sembarang. Dengan demikian nilai-nilai untuk κ (κ > 0) yang mungkin harus memenuhi kondisi berikut

(1.50)

Dengan memasukkan nilai κ ke dalam persamaan (1.45), kita akan mendapatkan nilai-nilai yang mungkin untuk energi E dengan nilai integer n.

(1.51)

Ini adalah formula untuk tingkat-tingkat energi dari sebuah partikel yang berada dalam sebuah kotak satu dimensi. Untuk energi yang bernilai lain selain yang diberikan pada persamaan (1.51), tidak ada solusinya. Munculnya tingkat-tingkat energi yang bersifat diskrit adalah sebuah konsekuensi dari kuantisasi energi. Tingkat energi yang terkuantisasi diklasifikasikan dengan bilangan bulat positif n. Bilangan-bilangan ini merepresentasikan keadaan terkuantisasi dan disebut sebagai bilangan kuantum.

Fungsi gelombang yang berkorespondensi dengan tingkat-tingkat energi Eω, dapat ditentukan melalui persamaan (1.46), (1.47) dan (1.50).

Di sini, rumus e = cos θ + i sin θ digunakan dan 2ai ditulis sebagai c. Nilai dari c ditentukan melalui persyaratan normalisasi.

Nilai dari integral terakhir adalah L/2 dan c2 ·(L/2) = 1. Dengan demikian maka c = √2/L, dan kita memperoleh solusi di dalam kotak sebagai berikut.

Tingkat energi En dan fungsi gelombang ψn(x) untuk sebuah partikel dalam sebuah kotak satu dimensi dengan panjang L ditunjukkan pada Gambar 1.14.

Tingkat energi terendah dengan bilangan kuantum n = 1 adalah keadaan dasar dari sebuah partikel dalam kotak. Probabilitas untuk menemukan partikel yang terbesar adalah pada posisi di tengah kotak dan kemudian menurun jika bergeser ke arah sisi-sisi kotak. Dalam dunia makroskopik, kita dapat meletakkan sebuah partikel di mana saja di dalam sebuah kotak. Akan tetapi di dalam dunia kuantum, hanya probabilitas saja yang dapat ditentukan. Hal sangat aneh adalah energi tingkat dasar E1 = h 2/8mL2 > 0 adalah lebih besar dari energi potensial yang ada dalam kotak tersebut U = 0. Dalam sebuah sistem makroskopik, keadaan energi minimum dari sebuah partikel adalah keadaan keadaan di mana tidak ada gerak dan energi akan sama dengan energi potensial minimum Umin (dalam kasus ini Umin = 0). Fakta yang menyatakan bahwa E1 − Umin > 0 menunjukkan bahwa sebuah partikel dapat bergerak dengan energi sebesar E1 − Umin, bahkan pada temperatur absolut nol di mana tidak ada energi yang dapat dipindahkan dari sistem lagi. Karenanya energi sebesar E1 − Umin disebut sebagai energi titik-nol (zero-point energy) dan gerakan pada keadaan dasar disebut sebagai gerakan titik-nol (zero-point motion). Dalam dunia makroskopik, masa dari materi m, dan panjang dari kotak L adalah sangat besar dan karenanya energi sebesar E1 = h2/8mL2 dapat dikatakan sangat kecil. Ini akan menyebabkan bahwa energi titik-nol dan gerakan titik-nol dalam dunia makroskopik dapat diabaikan. Nilai diskrit yang definit hanya diperbolehkan untuk keadaan tereksitasi dari sebuah partikel dalam kotak dan hal ini sangat berlawanan dengan dunia makroskopik di mana semua nilai energi diperbolehkan. Tingkat energi untuk sebuah sistem makroskopik dapat ditinjau sebagai hal yang kontinyu disebabkan oleh nilai m dan L yang sangat besar. Sebagaimana dapat dilihat pada fungsi gelombang pada gambar 1.14, terdapat beberapa posisi di mana tidak ada probabilitas untuk menemukan partikel dalam keadaan tereksitasi, meskipun partikel tersebut bergerak dalam kotak. Posisi geometris di mana ψ = 0 disebut sebagai sebuah noda. Jumlah dari noda-noda dalam kotak adalah n-1, yang akan meningkat dengan meningkatnya bilangan kuantum n. Gelombang dengan noda yang banyak secara umum memiliki energi yang lebih besar. Sifat ini perlu dicatat dan diingat dan ini akan sangat berguna untuk memahami sifat dari gelombang elektron yang bergerak dalam materi.

Gambar 1.14 Tingkat-tingkat energi En = h2/8mL2 dan fungsi gelombang ψn(x) untuk partikel dalam sebuah kotak satu dimensi.

Contoh 1.11. Tunjukkan hubungan berikut akan terjadi di antara fungsi gelombang ψn(x) dan ψm(x) untuk sebuah partikel dalam sebuah kotak satu dimensi.

δ nm adalah Kronecker delta di mana akan sama dengan 1 jika n = m dan 0 jika n ≠ m.

(Jawaban) Fungsi gelombang dengan bilangan kuantum n dalam sebuah kotak ( 0 < x < L) dengan panjang L diberikan oleh persamaan

(1.52)

Untuk posisi di luar kotak ψn(x) = 0 . Marilah kita menyebutkan integral yang menjadi masalah sebagai Inm.

Rumus penjumlahan sudut untuk fungsi trigonometri

akan menghasilkan

Dengan demikian

Inm = I(−) − I(+)

Disini

Dengan menuliskan θ = πx/L dan dengan menggunakan = (π/L)dx , kita akan memperoleh

Ketika (n ± m) tidak sama dengan 0,

Ketika (n − m = 0),

Karenanya,

  1. Untuk n = m, Inm = 1 − 0 = 1 dan
  2. Untuk n ≠ m, Inm = 0 − 0 = 0, dengan menggunakan delta Kronecker, kita akan memperoleh Inm = δnm.

Integral dari contoh ini dengan n = m adalah kondisi normalisasi, dengan diberikan bahwa fungsi gelombangnya telah dinormalisasi terlebih dahulu. Untuk n ≠ m, integralnya akan sama dengan 0, di mana dua fungsi gelombangnya dikatakan saling ortogonal dan memenuhi sifat ortogonalitas. Sifat ortogonalitas berlaku secara umum antara sembarang fungsi gelombang yang berkorespondensi dengan nilai eigen yang berbeda. Ketika fungsi-fungsi ternormalisasi dan saling ortogonal, maka himpunan fungsi-fungsi tersebut dikatakan ortonormal dan mengikuti sifat ortonormalisasi.
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

1.11 Perluasan persamaan gelombang

Sekarang, marilah kita memperluas persamaan gelombang yang sederhana dalam ruang satu dimensi ke dalam kasus-kasus yang umum.

(a) Perluasan pada ruang tiga dimensi

Perluasan dari satu dimensi menjadi tiga dimensi memerlukan 3 koordinat x, y dan z dalam tempat di mana sebelumnya hanya terdapat satu variabel x. Ini menjadi fungsi gelombang yang

dinyatakan sebagai Ψ(x, y, z, t) dari fungsi gelombang yang dinyatakan dengan Ψ(x,t) . Karenanya kecepatan v dan momentum p dinyatakan sebagai vektor-vektor dengan 3 komponen, masing-masing adalah (vx, vy, vz) dan (px, py, pz). Rumus pengganti yang berkaitan dengan persamaan (1.33) diperluas menjadi sebagai berikut.

(1.53)

Untuk sebuah partikel dengan masa m dalam ruang 3 dimensi, energi kinetik yang diperlukan untuk menghasilkan operator Hamiltonian diekspresikan sebagai berikut.

Dengan, Δ adalah sebuah operator yang disebut sebagai Laplacian. Ekspresinya dalam satu dimensi adalah

dan untuk 3 dimensi

Dengan simbol Laplacian Δ, Hamiltonian untuk sebuah partikel dengan masa m tanpa memperhatikan dimensi dalam ekspresi yang sama dapat ditulis sebagai berikut

(1.54)

Perlu dicatat bahwa energi potensial U untuk satu dimensi atau tiga dimensi masing-masing adalah U(x) atau U(x,y,z).

Laplacian Δ dapat diganti dengan ∇2 atau ∇ · ∇ , di mana ∇ adalah sebuah simbol matematika yang disebut sebagai nabla dan diberikan oleh rumusan berikut.

Sehingga, Laplacian Δ akan sama dengan sebuah produk dalam (inner product) atau sebuah produk skalar.

(1.55)

Meskipun kedua ekspresi ini dapat digunakan, pada buku ini Δ akan digunakan.

(b) Perluasan untuk sistem N buah partikel

Fungsi gelombang dari sebuah sistem dengan N buah partikel adalah sebuah fungsi yang terdiri dari 3N buah koordinat ruang (x1, y1, z1,…, xN, yN, zN) serta waktu t dan ini mengandung informasi tentang probabilitas untuk menemukan partikel. Adalah lebih mudah untuk menggunakan simbol q sebagai ganti dari 3N buah variabel. Fungsi gelombang Ψ(q,t) untuk sistem dengan N buah partikel memenuhi persamaan gelombang yang sama sebagaimana dengan fungsi gelombang untuk satu partikel.

(1.56)

Keadaan yang mungkin yang terjadi pada dunia riil hanya terbatas pada Ψ yang memenuhi persamaan ini dan disebut sebagai sebuah keadaan eigen. Probabilitas untuk menemukan setiap partikel dalam suatu volume dxidyidzi yang berkorespondensi dengan suatu daerah tertentu pada xi ~ xi + dxi , yi ~ yi + dyi, zi ~ zi + dzi diberikan untuk keadaan eigen Ψ adalah

(1.57)

Integrasi dari persamaan (1.57) pada seluruh daerah pada ruang berdimensi 3N haruslah sama dengan 1, karena ini adalah penjumlahan total dari probabilitas (kondisi normalisasi)

(1.58)

Di sini,

(1.59)

Merepresentasikan suatu elemen volume yang memiliki dimensi 3N dan berkorespondensi dengan integrasi harus diambil untuk seluruh variabel sebanyak 3N dan seluruh ruang. Integral dalam persamaan (1.58) secara sederhana diekspresikan dengan ∫ tunggal dan tidak dengan 3N ∫, dan ini berhubungan dengan penyingkatan elemen volume dq. Daerah integrasi untuk setiap variabel xi, yi dan zi adalah dari -∞ hingga ∞.

Ĥ dalam persamaan (1.56) adalah operator Hamiltonian untuk sebuah sistem N buah partikel, di mana dapat dengan mudah dibangun dari ekspresi energi klasik dari fungsi Hamilton H(p,q,t) dengan menggunakan rumus penggantian sebagai berikut untuk pada besaran momentum p.

(1.60)

Dengan demikian,

(1.61)

Untuk keadaan stasioner di mana H(p,q,t) = E (sebuah konstanta pada setiap waktu t),

(1.62)

(1.63)

(1.64)

Kondisi normalisasi untuk ψ(q) adalah

(1.65)

Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

1.12 Gerak pada sistem dengan dua partikel

Partikel banyak perlu dipertimbangkan secara umum untuk penerapan fungsi gelombang pada masalah-masalah kimia. Dalam usaha untuk melihat secara umum aplikasi pada sistem molekul, marilah kita untuk pertama kalinya mempelajari sistem dengan 2 partikel. Masalah dalam sistem 2 partikel dapat direduksi menjadi masalah satu partikel, ketika gerak relatif dan gerak titik pusat gravitasinya terpisah.

(a) Pemisahan gerak relatif dari gerak translasi.

Marilah kita mengandaikan bahwa energi untuk dua partikel E dinyatakan sebagai penjumlahan energi kinetik E1 dan E2 untuk partikel dan U untuk energi potensial,

(1.66)

dimana

dan mi, Vi adalah masa dan kecepatan dari masing-masing partikel ke-i (i = 1 atau 2). Koordinat untuk pusat gravitasi (X, Y, Z) berhubungan dengan koordinat dari masing-masing partikel (xi, yi, zi).

(1.67)

Karena kecepatan partikel Vi adalah sebuah vektor yang terdiri dari turunan terhadap waktu dari koordianat kartesian untuk partikel, kecepatan untuk pusat gravitasi VG dinyatakan dengan kecepatan masing-masing partikel sebagai berikut.

Koordinat relatif dapat diperkenalkan sebagai posisi dari partikel kedua terhadap partikel pertama

(1.68)

Kecapatan relatif V, yang didefinisikan sebagai turunan terhadap waktu dari posisi relatif, diberikan oleh

(1.69)

Gerak dari pusat gravitasi yang bebas terhadap gerak relatif antara partikel berhubungan dengan gerak paralel yang menjaga geometri relatif antara partikel dan disebut sebagai gerak translasi atau translasi.

Gambar 1.15 Gerak relatif dari sistem dengan 2 partikel (a) Gerak rotasi dengan r tetap (b) gerak vibrasi..

Energi dari sistem dengan 2 partikel dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari energi untuk gerak relatif dan translasi.

(1.70)

Suku pertama menyatakan energi kinetik dari translasi dan suku kedua menyatakan energi kinetik dari gerak relatif di mana θ adalah masa tereduksi yang didefinisikan dalam rumus berikut.

(1.71)

Karena kita dapat memilih sebuah sistem koordinat sembarang, gerak dari sistem dengan 2 partikel terhadap koordinat yang tetap pada pusat gravitasi dapat dengan sederhana dinyatakan sebagai

(172)

Di mana V = 0 . Ini adalah energi dari partikel dengan masa μ dan dengan kecepatan V bergerak dalam energi potensial U. Karenanya, gerak dari sistem dengan 2 partikel dapat direduksi menjadi sistem satu partikel dengan masa tereduksi μ. Dengan demikian, Hamiltonian dari gerak relatif pada sistem ini dapat dinyatakan dengan sebuah Laplacian berikut

(1.73)

(b) Pemisahan rotasi dan vibrasi

Gerak relatif dari sistem dengan 2 partikel dapat dibagi menjadi rotasi dan vibrasi. Gerak rotasi dapat dibayangkan sebagai rotasi dari sebuah dumbbell. Sebuah prototipe dari gerakan vibrasi adalah vibrasi dari 2 buah bola yang dihubungkan dengan sebuah pegas sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 1.15. Sudut-sudut adalah variabel yang cocok untuk gerak rotasi. Marilah kita mentransformasi koordinat kartesian ke dalam koordinat polar dengan menggunakan (r ,θ ,φ) dalam 3 dimensi sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 1.16.

(1.74)

r adalah jarak dari titik asal koordinat dan disebut sebagai jarak radial. θ adalah sudut inklinasi dari sumbu-z dan disebut sebagai sudut polar. φ adalah sudut yang mengelilingi sumbu-z dan disebut sebagai sudut azimut. Arientasi spasial dinyatakan dengan dua sudut yaitu θ dan φ. Dalam sistem koordinat polar, variasi pada sudut (θ dan φ) dan jarak (r) masing-masing menyatakan gerak rotasi dan gerak vibrasi. Dalam koordinat kartesian, rotasi dan vibrasi tidak dapat saling dipisahkan.

Gambar 1.16 Koordinat polar.

(c) Persamaan gelombang dalam koordinat polar

Laplacian untuk gerak relatif dari sistem 2 partikel diberikan oleh

(1.75)

Λ adalah sebuah operator untuk sudut dan disebut sebagai Legendrian

(1.76)

Dengan menggunakan kedua persamaan ini, Hamiltonian untuk gerak relatif dapat ditulis sebagai

(1.77)

Hamiltonian ini dapat diterapkan pada masalah yang penting dalam kimia. Marilah kita melihat beberapa contoh dari persamaan gelombang, nilai eigen energinya dan fungsi gelombang.

(1) Masa tereduksi dan tingkat energi dari atom hidrogen

Contoh yang umum adalah pada atom hidrogen, yang merupakan sistem dengan 2 partikel yaitu sebuah proton dan sebuah elektron. Persamaan (1.71) akan memberikan masa tereduksi dari sistem ini dengan masa dari proton adalah M dan masa dari elektron adalah m sebagai berikut.

(1.78)

Karena m/M adalah sebesar 1/1836, maka 1/M adalah sangat kecil dibandingkan dengan 1/m dalam penyebut pada persamaan (1.78). Dengan pendekatan ini, μ = m dan karenanya Hamiltonian pada persamaan (1.72) dengan jelas sama dengan gerakan elektron pada sebuah atom hidrogen dengan inti yang tetap (model Bohr). Secara kaku, masa tereduksi μ haruslah digunakan tanpa menggunakan m dalam pendekatan M → ∞. Hal yang lebih sesuai dengan spektra yang diamati akan diperoleh oleh model Bohr jika kita menggunakan μ dari pada menggunakan m.

Ketika persamaan (1.77) digunakan, nilai eigen energi yang memenuhi Ĥψ = Eψ menjadi sama dengan model Bohr yang menggunakan masa μ sebagai ganti dari m dan diberikan oleh persamaan berikut.

(1.79)

(1.80)

WH adalah energi ionisasi dari sebuah atom hidrogen. Konstanta Rydberg R yang presisi dengan menggunakan masa tereduksi dinyatakan sebagai berikut.

(1.81)

Persamaan ini untuk model Bohr akan teredusi menjadi persamaan (1.24) ketika kita menggunakan μ = m dalam pendekatan M → ∞. Sebagai catatan atas alasan ini, konstanta Rydberg dalam kasus M → ∞ sering ditulis sebagai R∞.

(2) Rotasi molekul sebuah molekul diatomik

Hamiltonian pada persamaan (1.77) dapat diterapkan pada rotasi molekul dari sebuah molekul diatomik di mana gerak rotasi terjadi di sekitar sebuah sumbu yang mengenai pusat gravitasinya. Panjang r dari atom-atom yang terikat disebut sebagai panjang ikatan dapat dibuat tetap pada titik kesetimbangannya dan kita dapat mengabaikan gaya-gaya luar. Maka kemudian, Hamiltonian untuk gerak rotasi sebuah diatomik molekul dapat dinyatakan sebagai

(1.82)

I adalah momen inersia dan diberikan oleh

(1.83)

Masa tereduksi pada kasus ini adalah sama dengan pada persamaan (1.71) yaitu untuk masa dua partikel, m1 dan m2. Persamaan (1.82) dapat diterapkan pada sebuah gerak melingkar dari sebuah partikel dengan masa μ, yang dilekatkan pada satu sisi sebuah tongkat yang kaku dengan panjang r, dan dengan posisi tetap pada sisi lainnya yang menjadi titik awal koordinat. Gerak melingkar partikel ini dibatasi pada permukaan sebuah bola. Sistem rotasi jenis ini disebut sebagai rotor yang kaku (rigid). Keadaan stasioner dari sebuah rotor yang kaku atau rotasi molekular dinyatakan dengan fungsi gelombang dari dua buah sudut θ dan φ.

Gambar 1.17 Tingkat-tingkat energi rotasi (a) dan spektrum rotasi, (b) Konstanta rotasi, H = (h)/(8マ€ 2 μr 2). Aturan seleksi untuk transisi rotasi adalah ΔJ = ±1.

Dengan memecahkan persamaan Ĥψ = Eψ dengan persamaan (1.82), tingkat energi dapat diperoleh sebagai berikut (gambar 1.17).

(1.84)

Di sini J adalah bilangan kuantum rotasi. Rumusan untuk tingkat-tingkat energi rotasi dapat diterapkan pada rotasi molekular dari molekul diatomik. Foton yang berkaitan dengan perbedaan energi antara tingkat energi ke-J dan ke-J+1 yang dinyatakan dengan ΔE dapat diserap dan dipancarkan untuk mendapatkan spektra rotasi molekul.

(1.85)

Transisi yang terjadi di antara tingkat-tingkat rotasi disebut sebagai transisi rotasi. B dalam persamaan (1.85) disebut sebagai konstanta rotasi yang didefinisikan sebagai berikut

(1.86)

Berkaitan dengan meningkatnya J = 0, 1, 2, 3,…, energi yang berkaitan dengan rotasi dan translasi dinyatakan sebagai ΔE dalam persamaan (1.85) meningkat dengan sebuah konstanta jarak yaitu (h 2 / I) . Dalam banyak kasus, spektra rotasi dari molekul muncul pada daerah gelombang mikro dan infra merah. Ketika momen inersia I diperoleh dari spektra yang diamati, panjang ikatan r dapat ditentukan dengan persamaan (1.83) dengan mengetahui nilai dari masa tereduksinya. Meski analisa dapat menjadi sangat rumit, struktur geometi dari molekul yang beratom banyak dapat juga ditentukan dari spektar rotasinya. Gelombang elektromagnetik dari media antar bintang dalam ruang angkasa mengandung gelombang elektromganetik yang dipancarkan sebagai spektra rotasi molekul. Probabilitas dari rotasi dan translasi bergantung pada polarisasi listrik dari molekul. Rotasi dan translasi tidak dapat terjadi pada molekul nitrogen dan hidrogen, karena molekul-molekul ini tidak memiliki polarisasi listrik.

(3) Vibrasi molekul dari sebuah molekul diatomik

Hamiltonian pada persamaan (1,77) dapat juga diterapakan pada vibrasi molekul dari sebuah molekul diatomik yang merupakan gerak melentur dari panjang ikatan r berada di sekitar jarak kesetimbangannya re. Dengan menetapkan sudut rotasi θ dan φ, Hamiltonian untuk gerak vibrasi dari sebuah molekul diatomik dinyatakan sebagai berikut.

(1.87)

Karena fungsi gelombang ψ(r) adalah sebuah fungsi dari r yang memenuhi persamaan Ĥψ = Eψ, kita dapat menulis ψ(r) dengan menggunakan sebuah fungsi φ(r) sebagai berikut.

(1.88)

Kemudian kita akan mendapatkan dari persamaan (1.87) persamaan berikut.

(1.89)

Untuk gerak vibrasi yang mengikuti hukum Hooke, energi potensial U adalah sebanding dengan kuadrat dari perpindahan Q dari posisi setimbangnya (Gambar 1.18) dan ini diberikan oleh

(1.90)

Di sini k adalah sebuah konstanta yang berkaitan dengan kekuatan pegas dan disebut sebagai konstanta gaya. Perpindahan Q dinyatakan sebagai perbedaan antara panjang ikatan r dan nilai kesetimbanganya re.

(1.91)

Dengan menggunakan perpindahan Q sebagai variabel, fungsi gelombang untuk gerak vibrasi dari sebuah molekul diatomik diekspresikan sebagai berikut

(1.92)

Dengan memecahkan persamaan ini, tingkat energi untuk osilator harmonik satu dimensi diberikan oleh persamaan berikut (Gambar 1.18)

(1.93)

Di sini υ adalah bilangan kuantum vibrasi dan v adalah frekuensi fundamental dari gerak vibrasi dan diberikan oleh rumusan berikut.

(1.94)

Frekuensi ini adalah sama dengan frekuensi fundamental dari sebuah osilator harmonik satu dimensi dengan konstanta gaya k dan masa tereduksi μ. untuk sebuak osilator harmonik satu dimensi.

Gambar 1.18 Energi potensial U = ½kQ2 serta tingkat energi dan fungsi gelombang.

Dalam kasus osilator harmonik klasik, energi pegas yang bervibrasi akan berubah secara kontinyu. Sementara untuk sebuah osilator dalam teori kuantum, hanya nilai-nilai energi yang terkuantisasi saja dalam persamaan (1.93) yang diijinkan. Tingkat energi sebuah osilator harmonik terpisah dengan jarak yang sama dan perbedaan energi hv disebut sebagai energi kuantum dari vibrasi. Energi dari keadaan dasarnya adalah E0= ½hv dan energi ini adalah satu setengah dari dari energi kuantum dari vibrasi dan disebut sebgai energi vibrasi titik nol. Gerak vibrasi dalam keadaan dasarnya disebut dengan osilasi titik nol.

Sebagaimana dapat dilihat pada persamaan (1.94), vibrasi dari molekul berosilasi perlahan untuk sistem yang masif dan cepat untuk sistem yang terikat dengan kuat. Foton dari perbedaan energi antara tingkat energi ke-(υ+1) dan ke υ yang dinyatakan dengan ΔE dalam persamaan (1.95) dapat diserap atau dipancarkan untuk menghasilkan spektra vibrasi molekular.

(1.95)

Spektra vibrasi dari molekul biasanya terdapat pada daerah infra merah. Vibrasi molekul yang berkaitan dengan perubahan dari polarisasi listrik akan cenderung untuk memiliki transisi vibrasi dengan peluang yang lebih besar. Vibrasi tanpa perubahan dalam polarisasi listrik tidak akan menunjukkan transisi-transisi vibrasi.

Meskipun detail dari fungsi gelombang untuk osilator harmonik tidak dijelaskan di sini, karakteristik umum mereka dapat dilihat pada gambar 1.18. Jumlah dari titik nodal pada fungsi gelombang dari osilator harmonik akan meningkat dengan meningkatnya bilangan kuantum, satu demi satu sama dengan yang terjadi pada titik nodal pada sebuah partikel dalam kotak satu dimensi.
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

1.13 Momentum sudut

Momentum sudut adalah sebuah besaran fisika yang penting, khususnya untuk masalah-masalah pada tingkat energi dan spektra atom dan molekul. Dalam bagian ini, momentum sudut akan didefinisikan dan sifat-sifatnya akan dijelaskan.

Momentum sudut dari sebuah partikel didefinisikan sebagai sebuah produk luar (produk vektor) r x p dari posisi vektor r yang menyatakan posisi (x, y, z) dan momentum = (x, y, z).

(1.96)

Persamaan ini dapat ditulis ulang dengan komponen-komponen berikut.

(1.97)

Momentum sudut yang diperkenalkan di sini disebut sebagai momentum sudut orbital karena ini berkaitan dengan gerak orbital klasik dari partikel.

Contoh 1.12 Dapatkan momentum sudut orbital l dari sebuah partikel dengan masa m yang melingkar pada bidang x-y dengan kecepatan yang konstan v dan pada radius r. Kemudian tulis lagi kondisi Bohr untuk kuantisasi pada persamaan (1.21) untuk batasan dari besaran momentum sudut |l|.

(Jawaban) Karena z = 0, pz = 0 untuk gerak melingkar di sekitar titik pusat O dalam bidang x-y sebagaimana ditunjukkan dalam gambar, maka komponen x dan y dari momentum sudut l, keduanya akan menghilang.

Dengan mengambil sudut θ dan arah dari kecepatan v sebagaimana dalam gambar, kita akan mendapatkan persamaan-persamaan berikut.

Komponen z dari momentum sudut l menjadi

Dengan demikian, tiga komponen dari momentum sudut orbital I diekspresikan dengan

Berdasarkan persamaan (1.21) kondisi Bohr untuk kuantisasi adalah

Dengan catatan bahwa |l| = mvr dalam persamaan di atas maka kita mendapatkan

Dengan demikian, kondisi Bohr untuk kuantisasi menunjukkan bahwa besaran momentum sudut orbital dari gerak melingkar dikuantisasi menjadi perkalian bilangan bulat dengan h.

Operator Î= (Îx, Îy, Îz) berhubungan dengan l yang dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (1.53) yang digunakan juga untuk menurunkan operator Hamiltonian dengan menggunakan koordinat polar (r, θ, φ) kita akan mendapatkan persamaan berikut.

(1.98)

Persamaan-persamaan ini akan menuju pada sebuah ekspresi yang sangat berguna untuk momentum sudut kuadrat l2 = lx2 + ly2 + lz2. Sehingga Î2 akan sebanding dengan operator Legendre Λ.

(1.99)

Sifat karakteristik dari operator Λ telah dipelajari dengan baik dalam kaitannya dengan harmonik sudut Yl,m. Beberapa contoh untuk Yl,m ditunjukkan dalam tabel 1.3. Hubungan berikut ini adalah sangat penting.

(1.100)

atau

(1.101)

Ini adalah persamaan eigen untuk Î2 ; Yl,m adalah fungsi eigen dan l(l + 1)h2 adalah nilai eigen. l adalah bilangan kuantum yang menentukan besarnya momentum sudut orbital. Ini adalah bilangan kuantum untuk kuadrat dari l dan dibatasi pada nilai l = 0,1,2,3,… .

Hubungan berikut untuk kompnen z dari momentum sudut Îz dan dapat dikonfirmasi pada tabel 1.3.

(1.102)

Ini adalah persamaan eigen untuk Îz ; Yl,m adalah fungsi eigen dan mh adalah nilai eigen. m adalah bilangan kuantum untuk komponen z dari momentum sudut orbital dan memiliki 2l + 1 nilai yang mungkin yang berkaitan dengan bilangan kuantum l dalam daerah dari −l hingga +l. Sebagai contoh untuk l = 1, maka nilai yang mungkin adalah m = -1, 0, 1. Karakteristik yang seperti itu untuk l dan m adalah berkaitan dengan perilaku elektron dalam atom. Sebuah hubungan yang sama dan juga penting dalam menjelaskan keadaan rotasional dari molekul. Sebagaimana telah dipelajari dalam kasus rotor yang kaku dari sebuah molekul diatomik, operator Hamiltonian adalah sebanding dengan operator Legendre Λ dalam persamaan (1.100), fungsi gelombang untuk rotasi molekul akan menjadi fungsi harmonik sperikal Yl,m.

Tabel 1.3. Harmonik sperikal Yl,m (θ, φ)

Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

1.14 Nilai terukur dan nilai ekspektasi

Nilai-nilai eigen (nilai eigen energi) yang memenuhi persamaan gelombang untuk keadaan stasioner adalah energi dari sistem yang dimungkinkan untuk dimiliki oleh sistem dan dinamakan tingkat energi. Karenanya, nilai energi yang terukur untuk keadaan stasioner harus sesuai dengan nilai eigen energi. Dengan kata lain setiap nilai yang berbeda dari nilai eigen energi tidak dapat diukur secara prinsip, kecuali untuk perbedaan yang disebabkan oleh kesalahan eksperimental. Bagaimana dengan nilai eigen dari momentum dan nilai eigen dari momentum sudut? Ini telah dikonfirmasi dengan eksperimen bahwa nilai yang mungkin yang akan diukur sebagai sebuah kuantitas fisika haruslah sebuah nilai eigen dari operator yang dapat diamati.

Jika sebuah sistem berada dalam keadaan stasioner, energinya harus merupakan sebuah nilai yang tertentu, kapanpun dia diamati. Ini dikarenakan fungsi gelombang yang merepresentasikan sebuah keadaan dari sistem adalah sebuah fungsi eigen tertentu yang berkaitan dengan nilai eigen tersebut.

Momentum atau momentum sudut tidak selalu tertentu dan nilai yang terukur dapat saja berbeda. Ini berkaitan dengan sifat dari fungsi gelombang yang tidak harus sama (atau proporsional) dengan fungsi eigen tertentu dari momentum atau momentum sudut.

Penyelidikan secara teori kuantum terhadap ketidakpastian dalam kuantitas yang terukur akan memberikan aturan-aturan sebagai berikut.

  1. Fungsi gelombang Ψ(q, t) dapat diekspresikan dalam bentuk berikut ini yang merupakan kombinasi linier dari {φi} yang merupakan fungsi eigen dari suatu kuantitas fisik F.(1.103)Di sini, persamaan eigen untuk F diberikan dengan

    (1.104)

  2. Nilai yang terukur dari sebuah kuantitas fisik F haruslah berkesesuaian dengan satu nilai eigen untuk operatornya . Probabilitas P(f i) untuk menemukan nilai eigen ke-i, fi diberikan oleh kuadrat dari koefisien ke-i, ci dalam ekspansi yang ditulis di atas dalam bentuk fungsi eigen yang ternormalisasi {φi}.(1.105)Karena probabilitas total haruslah sama dengan suatu satuan

    (1.106)

    Kemudian konstanta a pada persamaan (1.105) harus dinormalisasi dengan cara sebagai berikut.

    (1.107)

Dari kedua aturan di atas, rata-rata dari nilai terukur 〈f 〉 diharapkan diberikan oleh rumusan berikut ini.

(1.108)

Nilai pada sisi sebelah kanan pada persamaan ini ditentukan oleh besaran dari koefisien ekspansi {ci} yang merepresentasikan jumlah dari masing-masing komponen yang termasuk dalam Ψ Jika seluruh ci (i ≠ 1) kecuali untuk ci (i = 1) adalah 0, kemudian 〈f 〉 = fi. Dalam kasus ini, Ψ adalah keadaan asli dari Ψ = c1φ1, yang terdiri dari hanya fungsi eigen yang pertama dan P ( f 1 ) = 1 untuk i = 1 sementara P(fi) = 0 untuk i ≠ 1 . Ketika suatu nilai eigen fi yang berasal dari seluruh nilai eigen {fi} dari adalah selalu diamati, keadaan Ψ adalah keadaan eigen dari suatu besaran fisis F dan kuantitas fisis ini selalu memiliki suatu nilai f. Di lain pihak untuk kasus-kasus yang lebih umum dari keadaan yang tercampur yang mana Ψ mengandung beberapa komponen dari himpunan {ci}, nilai yang terukur akan terdistribusi pada nilai eigen yang berbeda daripada memiliki nilai tetap pada suatu nilai tertentu.

Rata-rata dari nilai yang dapat terukur 〈f 〉 dapat langsung dihitung dengan nilai ekspektasi dari mekanika kuantum 〈F〉 dan didefinisikan oleh rumus berikut.

(1.109)

Proses integrasi harus dilakukan untuk seluruh variabel yang disimbolkan dengan q pada seluruh daerah dari variabel Ψ. Ketika Ψ telah dinormalisasi, penyebut menjadi satu dan dengan demikian hal ini dapat diabaikan.
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

1.14 Nilai terukur dan nilai ekspektasi

Nilai-nilai eigen (nilai eigen energi) yang memenuhi persamaan gelombang untuk keadaan stasioner adalah energi dari sistem yang dimungkinkan untuk dimiliki oleh sistem dan dinamakan tingkat energi. Karenanya, nilai energi yang terukur untuk keadaan stasioner harus sesuai dengan nilai eigen energi. Dengan kata lain setiap nilai yang berbeda dari nilai eigen energi tidak dapat diukur secara prinsip, kecuali untuk perbedaan yang disebabkan oleh kesalahan eksperimental. Bagaimana dengan nilai eigen dari momentum dan nilai eigen dari momentum sudut? Ini telah dikonfirmasi dengan eksperimen bahwa nilai yang mungkin yang akan diukur sebagai sebuah kuantitas fisika haruslah sebuah nilai eigen dari operator yang dapat diamati.

Jika sebuah sistem berada dalam keadaan stasioner, energinya harus merupakan sebuah nilai yang tertentu, kapanpun dia diamati. Ini dikarenakan fungsi gelombang yang merepresentasikan sebuah keadaan dari sistem adalah sebuah fungsi eigen tertentu yang berkaitan dengan nilai eigen tersebut.

Momentum atau momentum sudut tidak selalu tertentu dan nilai yang terukur dapat saja berbeda. Ini berkaitan dengan sifat dari fungsi gelombang yang tidak harus sama (atau proporsional) dengan fungsi eigen tertentu dari momentum atau momentum sudut.

Penyelidikan secara teori kuantum terhadap ketidakpastian dalam kuantitas yang terukur akan memberikan aturan-aturan sebagai berikut.

  1. Fungsi gelombang Ψ(q, t) dapat diekspresikan dalam bentuk berikut ini yang merupakan kombinasi linier dari {φi} yang merupakan fungsi eigen dari suatu kuantitas fisik F.(1.103)Di sini, persamaan eigen untuk F diberikan dengan

    (1.104)

  2. Nilai yang terukur dari sebuah kuantitas fisik F haruslah berkesesuaian dengan satu nilai eigen untuk operatornya . Probabilitas P(f i) untuk menemukan nilai eigen ke-i, fi diberikan oleh kuadrat dari koefisien ke-i, ci dalam ekspansi yang ditulis di atas dalam bentuk fungsi eigen yang ternormalisasi {φi}.(1.105)Karena probabilitas total haruslah sama dengan suatu satuan

    (1.106)

    Kemudian konstanta a pada persamaan (1.105) harus dinormalisasi dengan cara sebagai berikut.

    (1.107)

Dari kedua aturan di atas, rata-rata dari nilai terukur 〈f 〉 diharapkan diberikan oleh rumusan berikut ini.

(1.108)

Nilai pada sisi sebelah kanan pada persamaan ini ditentukan oleh besaran dari koefisien ekspansi {ci} yang merepresentasikan jumlah dari masing-masing komponen yang termasuk dalam Ψ Jika seluruh ci (i ≠ 1) kecuali untuk ci (i = 1) adalah 0, kemudian 〈f 〉 = fi. Dalam kasus ini, Ψ adalah keadaan asli dari Ψ = c1φ1, yang terdiri dari hanya fungsi eigen yang pertama dan P ( f 1 ) = 1 untuk i = 1 sementara P(fi) = 0 untuk i ≠ 1 . Ketika suatu nilai eigen fi yang berasal dari seluruh nilai eigen {fi} dari adalah selalu diamati, keadaan Ψ adalah keadaan eigen dari suatu besaran fisis F dan kuantitas fisis ini selalu memiliki suatu nilai f. Di lain pihak untuk kasus-kasus yang lebih umum dari keadaan yang tercampur yang mana Ψ mengandung beberapa komponen dari himpunan {ci}, nilai yang terukur akan terdistribusi pada nilai eigen yang berbeda daripada memiliki nilai tetap pada suatu nilai tertentu.

Rata-rata dari nilai yang dapat terukur 〈f 〉 dapat langsung dihitung dengan nilai ekspektasi dari mekanika kuantum 〈F〉 dan didefinisikan oleh rumus berikut.

(1.109)

Proses integrasi harus dilakukan untuk seluruh variabel yang disimbolkan dengan q pada seluruh daerah dari variabel Ψ. Ketika Ψ telah dinormalisasi, penyebut menjadi satu dan dengan demikian hal ini dapat diabaikan.
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

1.15 Hubungan komutasi dan prinsip ketidakpastian

Apakah sebuah pasangan dari kuantitas fisik F dan G memiliki suatu nilai yang dapat diukur secara simultan atau tidak ditentukan dengan sifat-sifat yang berkaitan dengan operator dan . Secara umum, jika terdapat sebuah himpunan dari fungsi eigen yang umum {φi}, maka hubungan berikut ini akan berlaku.

(1.110)

Kebalikannya juga, jika hubungan ini berlaku maka terdapat sebuah himpunan dari fungsi eigen yang umum {φi}. Hubungan di atas menunjukkan bahwa operator dan berkomutasi dan susunan dari kedua operator tersebut dapat saling dipertukarkan.

Marilah kita meninjau sebuah kasus yang khusus di mana sebuah operator komut dengan operator Hamiltonian Ĥ. Dalam kasus ini terdapat sebuah fungsi Ψ yang secara simultan adalah sebuah fungsi eigen dari dan Ĥ dan kemudian pasangan dari persamaan Ψ = fΨ dan ĤΨ = EΨ adalah saling kompatibel untuk fungsi yang sama Ψ. Dalam kasus khusus yang demikian fungsi gelombang Ψ dari fungsi eigen Ĥ dengan nilai eigen E adalah juga fungsi eigen dari dengan nilai eigen f. Kuantitas fisik F dapat memiliki suatu nilai hanya jika operator yang berkaitan F komut dengan H. Jika dan Ĥ tidak saling komut, F tidak dapat memiliki suatu nilai tertentu dan sebuah nilai yang terukur f akan diamati pada probabilitas sebesar P(fi) berdasarkan aturan yang telah disampaikan di atas.

Contoh 1.13 Konfirmasikan bahwa operator koordinat nilai positif dan operator dari komponen-x dari momentum linier x tidak saling komut.

(Jawaban) Karena = x dan x = −h∂ / ∂x, kita akan mendapatkan persamaan berikut untuk sebuah fungsi sembarang φ(x).

Ini akan menjadi

Dengan mengingat bahwa φ adalah fungsi dari x,

Karena suku di sebelah kanan tidak sama dengan 0, kita dapat menyimpulkan bahwa dan tidak saling berkomutasi.

Sama dengan contoh di atas, dan y dan juga dan z adalah saling tidak berkomutasi. Karenanya koordinat posisi dan momentum linier tidak dapat memiliki suatu nilai tertentu pada saat yang bersamaan. Ketidakpastian dari nilai yang terukur dipelajari oleh W. K. Heisenberg. Dia menemukan hubungan berikut pada tahun 1927

(1.111)

Di sini, Δq dan Δp menyatakan ketidakpastian untuk posisi q dan berkaitan dengan momentum p. Karena hubungan ini, jika kita ingin memastikan posisi, nilai terukur untuk momentum menjadi tidak pasti dengan nilai-nilai yang terdistribusi. Sebaliknya, jika kita ingin memastikan momentum maka nilai terukur dari posisi menjadi tidak pasti. Sebuah hubungan yang sama juga ditemukan untuk ketidakpastian energi ΔE dan interval waktu Δt yang diperlukan untuk pengukuran.

(1.112)

Ini berarti bahwa kita memerlukan waktu yang tak berhingga untuk menentukan energi secara tepat. Ketika interval dari waktu sangat singkat, energi menjadi tidak tentu dari suatu nilai yang ingin ditentukan. Kedua ketidaksamaan di atas disebut sebagai prinsip ketidakpastian.
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

Latihan

  1. Berkaitan dengan sebuah tumbukan dari sebuah atom yang tereksitasi dengan permukaan sebuah elektroda dalam vakum, sebuah elektron dapat dipancarkan sebagai elektron kedua dari permukaan dan elektron-elektron yang demikian itu dapat ditangkap oleh sebuah plat logam. Dengan menggunakan sebuah peralatan dengan sebuah pengukur arus, arus listrik yang mengalir melalui rangkaian yang menghubungkan elektroda dengan plat logam diukur sebesar 160 pA (1 C adalah muatan listrik yang dibawa oleh arus 1 A selama 1 detik). Hitunglah jumlah atom yang tereksitasi setiap detik, jika diketahui bahwa satu atom yang tereksitasi akan menghasilkan satu elektron kedua.
  2. Kecepatan sebuah molekul nitrogen yang bergerak dalam atmosfer pada temperatur ruang adalah sebesar 500 ms-1. Hitunglah energi kinetik dari sebuah molekul nitrogen yang memiliki kecepatan ini dalam J atau eV.
  3. Sebuah kelompok cahaya infra merah dengan panjang gelombang 3.3, 6.2, 7.7, dan 11.3 μm dipancarkan oleh materi antar bintang. Ini telah menjadi pertanyaan yang lama untuk mengetahui materi apa yang memancarkan cahaya infra merah ini. Telah diketahui dengan baik bahwa spektra infra merah dari molekul hidrokarbon dalam keadaan tidak saturasi memiliki garis spektra pada 3000 cm-1 untuk moda perenggangan CH, 1600 cm-1 dan 1300 cm-1 untuk moda perenggangan CC dan 1140 cm-1 dan 890 cm-1 untuk mode pergerakkan sudut dari CCH. Manakah dari moda-moda ini yang berkaitan dengan panjang gelombang infra merah yang tidak teridentifikasi yang berasal dari materi antar bintang.
  4. Perkirakan temperatur permukaan dari sebuah bintang yang memancarkan radiasi termal dengan panjang gelombang maksimum 500 nm. Jawablah pertanyaan ini dengan melihat pada contoh 1.5.
  5. Sebuah foton dipancarkan dari sebuah atom hidrogen dalam keadaan tereksitasi yang memiliki bilangan kuantum n = 2 bertabrakkan dengan atom hidrogen lain yang berada dalam keadaan n = 2 dan sebuah fotoelektron dipancarkan. Hitunglah energi kinetik dari fotoelektron itu.
  6. Sebuah pancaran elektron yang dihasilkan oleh percepatan elektron dengan beda potensial sebesar 600 V diarahkan pada permukaan sebuah kristal Ni. Refleksi orde ke-2 diamati pada sudut sebesar 34.5°. Hitunglah interval bidang kisi yang saling berdampingan pada kristal.
  7. Tuliskan persamaan gelombang untuk keadaan stasioner dari sebuah partikel dengan masa m yang bergerak di bawah energi potensial U(r) = ½kr2 (k > 0) bergantung hanya pada jarak r. Indikasikan kebergantungan pada koordinat tiga dimensi (x, y, z) secara eksplisit.
  8. Fungsi berikut ψ1 dan ψ2 adalah fungsi gelombang untuk keadaan stasioner dari osilator harmonik satu dimensi. A, B dan a (a > 0) adalah konstanta.
    1. Normalisasikan ψ1 dan ψ2. Gunakan rumus:tentukan konstanta A dan B sedemikan hingga memenuhi kondisi ternormalisasi.
    2. Substitusikan ψ1 dan ψ2 ke dalam persamaan gelombang untuk keadaan stasioner dari sebuah partikel yang berosilasi yang memiliki masa m dan konstanta gaya k. Dapatkan nilai eigen untuk ψ1 dan ψ2 dengan mentransformasikan persamaan yang telah dimasukkan menjadi sebuah bentuk yang sebanding dengan masing-masing fungsi gelombangnya.
  9. Berkaitan dengan fungsi-fungsi di atas jawablah pertanyaan berikut (a) dan (b)

  10. Dapatkan nilai ekspektasi dari koordinat posisi untuk sebuah partikel dalam sebuah kotak satu dimensi dengan panjang L.
  11. Tunjukkan bahwa fungsi harmonik sperikal Y1,1, Y1,0 dan Y1,−1 adalah fungsi eigen dari operator untuk kuadrat dari momentum sudut orbital. Konfirmasikan bahwa nilai eigen untuk ketiga fungsi ini adalah sama. Buktikan bahwa setiap kombinasi linier dari ketiga fungsi ini juga sebuah fungsi eigen dari operator untuk kuadrat dari momentum sudut orbital dan bahwa nilai eigennya juga sesuai dengan nilai eigen dari ketiga fungsi ini.

Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

Ditulis dalam uncategorized | Sunting | Tinggalkan sebuah komentar »

TEORI KUANTUM

Oktober 18, 2008 oleh ebenbohr

1.1 Apa yang dimaksud dengan kimia kuantum?

Kimia kuantum adalah sebuah aplikasi mekanika kuantum pada kimia. Kimia kuantum memungkinkan kita untuk memahami dan memprediksi struktur, sifat dan mekanisme reaksi dari berbagai bahan. Untuk keperluan ini, matematika menjadi alat bantu yang sangat penting. Pada masa awal saat mekanika kuantum baru lahir dan dikembangkan, komputasi elektronik belum tercipta sehingga ruang lingkup fenomena kimia di mana kimia kuantum dapat diterapkan sangat terbatas. Akan tetapi, perkembangan yang cepat pada alat komputasi modern dalam beberapa tahun terakhir ini telah memberikan perluasan yang penting pada ruang lingkup kimia kuantum. Pada bagian ini, kita akan melihat apa yang dapat dijelaskan dan diprediksi setelah kita mempelajari kimia kuantum.

(1) Asal-usul dari sifat unsur kimia dapat dijelaskan (lihat bagian: 2.5, 2.6, 6.1, 6.2)

Terdapat beberapa grup dari unsur-unsur yang memiliki sifat yang sama: logam alkali dengan mudah kehilangan sebuah elektron (sangat elektropositif), halogen cenderung untuk menerima elektron (sangat elektronegatif), dan gas mulia bersifat inert. Meskipun karakter periodik dari unsur dipelajari di sekolah menengah pertama atau atas, akan tetapi bagaimana sifat-sifat dari unsur-unsur ini dapat diturunkan dari hukum-hukum alam tidak dapat dijelaskan dengan tingkat pengetahuan pada sekolah lanjutan tersebut. Terdapat penjelasan bahwa gas mulia bersifat inert karena memiliki konfigurasi elektron yang stabil. Mengapa konfigurasi elektron dari gas mulia stabil? Pada tahun 1962 ditemukan bahwa gas mulia dapat bereaksi dan membentuk senyawa, meskipun fakta ini biasanya tidak diberikan pada tingkat sekolah lanjutan. Bagaimana bisa sebuah gas mulia yang inert dapat bereaksi? Apakah ada suatu kondisi tertentu bagi kereaktifannya? Asal-usul dari sifat dan karakter dari unsur kimia termasuk sifat kereaktifan yang misterius dari gas mulia dapat dipahami dengan mekanika kuantum.

(2) Dapat memprediksi struktur molekul (lihat bagian: 4.4, 5.4-5.7)

Dalam semua buku teks kimia untuk sekolah lanjutan, gambar dari struktur molekul seperti yang terdapat dalam Gambar 1.1 dapat ditemui. Struktur-struktur ini ditentukan berdasarkan studi eksperimental. Struktur rangka seperti tetrahedron pada metana, segitiga pada air dan heksagon dengan 6 ikatan CH yang ekivalen yang membentuk benzen, semuanya sangat menarik. Mengapa metana tidak membentuk struktur silang? Mengapa air tidak linier? Mengapa benzen memiliki ikatan CC dan juga CH semua dengan panjang ikatan yang sama? Pertanyaan-pertanyaan seperti itu dapat dijawab dengan kimia kuantum. Panjang ikatan dan sudut-sudutnya dapat diperoleh dengan perhitungan-perhitungan kimia kuantum.

Gambar 1.1 Struktur rangka dari berbagai molekul. Angka-angka yang terdapat dalam gambar adalah panjang ikatan dalam nm dan sudut ikatan dalam derajat.

(3) Dapat memprediksi spektra dari molekul (lihat bagian: 4.4)

Kita dapat melihat gambaran yang jelas dari karakter warna dari berbagai material dalam buku teks untuk sekolah lanjutan. Gambar yang berwarna pada TV sebenarnya juga produk kimia yang dikontrol secara elektrik, yang disebut dengan kata lain sebagai gelombang elektromagnetik. Mekanisme bagaimana suatu warna dapat terjadi dalam larutan dan padatan yang mengandung molekul dan ion dapat dipahami dengan kimia kuantum. Panjang gelombang dari gelombang infra merah dan radiasi gelombang mikro yang diserap dan dipancarkan oleh air dan molekul karbon monoksida dapat dihitung dengan teori kimia kuantum. Dengan membandingkan spektra yang teramati dalam ruang antar bintang dengan perhitungan kimia kuantum kita dapat mengidentifikasi molekul apa yang menghasilkan spektra tersebut.

(4) Panas dari suatu reaksi dapat diprediksi (bagian: 4.4)

Panas yang dihasilkan oleh suatu reaksi kimia tidak perlu diturunkan dari beberapa data reaksi termasuk untuk senyawa yang berhubungan dan dengan menggunakan penjumlahan konstanta panas dengan menggunakan hukum Hess. Tanpa data eksperimental, panas dari suatu reaksi kimia dapat diperoleh dengan perhitungan menggunakan kimia kuantum.

(5) Apa yang akan dihasilkan dan bagaimana reaksi tersebut akan berlangsung dapat diprediksi (lihat bagian: 6.3, 6.4).

Skema reaksi I

(Atom-atom terluar adalah atom H)

Senyawa vinyl yang memiliki ikatan ganda dapat melakukan reaksi tambahan atau melanjutkan proses polimerisasi, sebagaimana dapat dilihat pada buku teks kimia di sekolah lanjutan. Polietilen dan polibutadien adalah produk hasil polimerisasi dari monomer unit tunggal etilen dan butadien. Pada tahun 1928, ditemukan bahwa campuran antara etilen dan butadien akan membentuk hasil reaksi yang unik yaitu cincin sikloheksen (lihat skema reaksi I). Reaksi tersebut sangat penting untuk mendapatkan cincin dengan 6 anggota karbon, karena reaksi mudah terjadi untuk menghasilkan produk yang dihasilkan secara selektif tanpa menggunakan reaktan yang tidak berguna. Mengapa molekul etilen tidak mudah bereaksi satu sama lain untuk menghasilkan cincin siklobutan dengan 4 anggota (lihat skema reaksi II)? Penjelasannya dapat diperoleh dari teori kimia kuantum.

Selanjutnya, kedua jenis cincin hasil reaksi (A) dan (B) pada skema reaksi II dapat diasumsikan diproduksi dari turunan etilen dan butadien yang mana sebuah atom hidrogen digantikan oleh sebuah grup formil (-CHO) dan grup metoksi (-CHO3). Akan tetapi, hanya (A) yang dapat diproduksi dalam reaksi yang riil. Jika beberapa produk dihasilkan, kita perlu melakukan usaha untuk memisahkan satu dengan lainnya dengan konsekuensi kehilangan reaktan dalam jumlah yang berarti. Karenanya, sebuah reaksi yang menghasilkan hanya satu produk adalah hal yang sangat berguna dalam reaksi kimia. Kimia kuantum dapat memberikan desain teoritis bagi sebuah skema reaksi untuk menghasilkan produksi yang selektif dari senyawa-senyawa.

Skema reaksi II

(Ikatan CH tidak digambarkan)

Contoh-contoh di atas adalah sebagian kecil dari aplikasi yang luas dari kimia kuantum. Perkembangan terakhir dalam instrumen komputasi dengan cepat melebarkan jangkauan aplikasi kimia kuantum. Matematika dan metoda komputasi untuk kimia kuantum telah dikembangkan pada berbagai tingkat. Pada abad ke-21, jangkauan aplikasi kimia kuantum akan dikembangkan secara berkelanjutan termasuk pada bidang-bidang yang belum disentuh oleh kimia kuantum.
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

1.2 Partikel bermuatan pembentuk materi dan gaya Coulomb

Elemen dari semua material adalah inti dan elektron yang masing-masing memiliki muatan positif dan negatif. Kombinasi dan interaksi dari partikel-partikel ini memberikan berbagai struktur, sifat dan reaksi-reaksi material. Pertama, adalah hal yang sangat penting untuk memahami aspek fundamental dari interaksi listrik. Sebuah atom terdiri dari sebuah inti dan beberapa elektron; muatan listrik positif dari inti dan jumlah elektron yang mengelilingi inti adalah sama dengan bilangan atomik (Z). Ketika sebuah atom kehilangan atau mendapat tambahan elektron, ia akan menjadi ion positif atau negatif. Kecenderungan dari sebuah atom menjadi sebuah ion dengan kehilangan atau memperoleh tambahan sebuah elektron adalah berbeda dan bergantung pada jenis unsur kimianya yang diklasifikasikan dengan bilangan atomnya. Kecenderungan ini sangat berkaitan erat dengan sifat kimia dari unsur.

Contoh 1.1 Hitung e, yang merupakan besar muatan listrik sebuah elektron dengan menggunakan konstanta Faraday, 96485 C.mol-1 dan bilangan Avogadro, 6,022 x 1023 mol-1. (1 C adalah muatan listrik yang dibawa oleh sebuah arus listrik sebesar 1 A selama 1 detik).

(Jawaban) Muatan listrik dari 1 mol elektron adalah 96485 C.mol -1 yang berasal dari konstanta Faraday dan jumlah dari partikel untuk setiap 1 mol berasal dari bilangan Avogadro. Dengan menggunakan nilai-nilai ini, muatan listrik dari sebuah elektron dihitung sebagai berikut

Secara umum, material kehilangan sebuah elektron akan membawa muatan positif dan material yang memperoleh tambahan elektron akan membawa muatan negatif. Material yang membawa muatan listrik akan memberikan gaya satu dengan lainnya pada arah-arah yang saling menghubungankan mereka. Sepasang muatan dengan tanda yang sama akan saling tolak-menolak satu sama lain dan muatan dengan tanda yang berlawanan akan saling tarik-menarik. Gaya F yang bekerja pada muatan memiliki besaran yang berbanding dengan produk perkalian antara muatan Q1 dan Q2 dan berbanding terbalik dengan dengan kuadrat jarak antara kedua muatan tersebut, r. Inilah yang disebut sebagai hukum Coulomb dan dinyatakan oleh persamaan sebagai berikut:

(1.1)

Di sini, ε0 adalah konstanta fisika fundamental yang disebut sebagai permivitas dalam vakum.

Meskipun hukum Coulomb ditemukan dengan mengamati gaya pada benda-benda bermuatan, hukum ini juga dapat diaplikasikan pada partikel yang sangat kecil seperti pada elektron dan inti atom. Karenanya, hukum Coulomb sangat dalam, berkaitan dengan sifat atom baik itu secara fisika (contoh, warna dari cahaya yang dipancarkan dan diserap) dan secara kimia (contoh, kecenderungan untuk terionisasi dan reaktivitas).

Partikel yang memiliki masa akan menghasilkan gaya tarik-menarik antara satu dengan yang lainnya yang dikenal sebagai gaya gravitasi. Akan tetapi, untuk partikel yang memiliki masa yang kecil seperti elektron dan ion molekul, gaya gravitasi dapat diabaikan karena terlalu kecil dibandingkan dengan gaya yang diberikan oleh hukum Coulomb (gaya Coulomb).

Contoh 1.2. Jika sebuah satuan muatan negatif diletakkan pada suatu titik di tengah antara dua buah muatan positif yang dipisahkan oleh jarak, R maka gaya manakah dari gaya-gaya yang bekerja pada muatan positif itu yang lebih besar, yakni apakah gaya yang diberikan oleh muatan negatif atau gaya yang disebabkan oleh muatan positif yang lain? Carilah arah di mana muatan positif memiliki kecenderungan untuk bergerak.

(Jawaban) Sebuah muatan positif akan mengalami gaya tarik-menarik yang dinyatakan dengan F = -1/4πε0(R/2)2 dan disebabkan oleh muatan negatif yang diletakkan pada jarak R/2 dan gaya tolak-menolak yang dinyatakan dengan F+ = -1/4πε0R 2 yang disebabkan oleh muatan positif yang lain yang berada pada jarak R. Karena gaya tolak-menolak 4 kali lebih besar dari gaya tarik-menarik maka setiap muatan positif akan cenderung bergerak kearah muatan positif yang lain. (Dengan aksi yang diberikan oleh suatu muatan negatif, muatan-muatan positif dapat terikat satu dengan yang lainnya. Ini berkaitan dengan fenomena bahwa inti-inti yang bermuatan positif dapat digabung dalam suatu bahan dengan bantuan atau keterlibatan elektron-elektron).

Jika sebuah partikel bermuatan diletakkan di antara pasangan plat logam yang memiliki suatu perbedaan potensial listrik (tegangan), maka sebuah muatan positif akan dikenakan gaya yang mengarah pada plat yang memiliki potensial listrik yang rendah dan muatan negatif akan bergerak ke arah plat yang memiliki potensial listrik tinggi. Besarnya gaya akan berbanding lurus dengan nilai absolut dari muatan listriknya. Dengan demikian, pada beda potensial yang sama, gaya yang bekerja pada sebuah elektron dan yang bekerja pada ion positif monovalensi memiliki besaran yang sama meskipun arahnya berbeda.

Jika sebuah elektron dalam keadaan diam dan kemudian dipercepat dari sebuah plat logam yang memiliki potensial listrik rendah menuju plat yang lain yang memiliki potensial listrik tinggi dengan perbedaan potensial sebesar 1 volt (V), energi kinetik dari elektron tersebut adalah sebesar 1 elektron volt (eV). Kerja yang dilakukan untuk membawa sebuah muatan positif yang memiliki muatan sebesar 1 Coulomb (C) hingga mencapai posisi di mana potensial listrik 1 V lebih tinggi dari titik awalnya adalah sebesar 1 Joule (J) atau 1 eV = 1,602 x 10-19 J. Sebuah tabung Brown yang digunakan pada televisi (Tabung sinar katoda atau Cathode Ray Tube/CRT) dilengkapi dengan sebuah sumber elektron (electron gun) yang mana elektron akan dipancarkan dan dipercepat dengan beda potensial sebesar 10 kV. Pancaran elektron yang dihasilkan itu kemudian akan difokuskan pada layar floresens dengan menggunakan sebuah lensa elektron yang terbuat dari kumparan defleksi magnetik dan kemudian akan membentuk titik yang memancarkan cahaya pada layar.

Contoh 1.3. Hitung kecepatan sebuah elektron yang memiliki energi kinetik sebesar 1 eV.

(Jawaban) Energi kinetik dari sebuah elektron (di mana m adalah masa elektron) dinyatakan dengan rumusan ½mv2 dan 1 eV = 1,602 x 10-19 J. Dengan demikian, ½mv2 = 1,602 x 10-19 J. Jika diketahui masa elektron sebesar m = 9,109 x 10-31 kg, maka dapat diperoleh kecepatan elektron sebagai berikut:

Dapat kita lihat pada contoh-contoh di atas, kecepatan sebuah elektron yang memiliki energi sebesar 1 eV adalah sekitar 600 km.s-1. Kecepatan sebuah ion, dengan energi kinetik sebesar 1 eV lebih rendah dibandingkan dengan kecepatan sebuah elektron. Hal ini disebabkan oleh masa sebuah ion, M sangat besar dibandingkan dengan masa sebuah elektron, m. Bahkan untuk ion teringan, ion hidrogen (proton), masanya (M) adalah sekitar 1836 kali lebih besar dari m. Karenanya, kecepatan sebuah proton dengan energi kinetik sebesar 1 eV adalah sekitar 1,38 x 104 m.s-1. Analisa energi kinetik (analisa kecepatan) elektron dan ion yang dilepaskan oleh suatu bahan adalah hal yang sangat penting dalam mempelajari struktur dan masa dari bahan tersebut.
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

1.3 Gelombang dan osilasi

Persamaan dasar untuk gelombang digunakan untuk menemukan persamaan fundamental dari mekanika kuantum, yang kemudian menjadi dasar bagi kimia kuantum. Marilah kita melihat dan membahas sifat-sifat dasar gelombang.

Suatu gelombang secara tipikal akan bergantung pada variabel posisi x dan waktu t yang dinyatakan dalam persamaan gelombang sinus sebagai berikut:

(1.2)

Di sini, ψ adalah sebuah kuantitas yang menyatakan perpindahan pada posisi x dan waktu t, A adalah amplitudo, T adalah frekuensi, λ adalah panjang gelombang dan 2π(x/λ – t/T) adalah fasa dari gelombang tersebut. Perkembangan atau perubahan terhadap waktu dari gelombang ini (Gambar 1.2.a) dapat dipahami dengan mudah dengan memperhatikan perubahan pada suatu titik tertentu, sebagai contoh pada posisi x = 0. Gelombang ini akan berosilasi pada jangkauan antara ±A dan frekuensinya per detik dinyatakan dengan:

(1.3)

Gambar 1.2 Gelombang sinus.

Satuan untuk frekuensi adalah s-1 atau Hz (Hertz). Gerakan gelombang dalam koordinat ruang pada suatu waktu (sebagai contoh t = 0) ditunjukkan dalam Gambar 1.2.b, di mana perilaku berulang (periodik) dari gelombang dapat dilihat pada sebuah interval dari panjang gelombang λ. Jika ditinjau sebuah puncak dari sebuah gelombang yang memenuhi hubungan ψ = A pada persamaan (1.2), kita peroleh

Dengan demikian nilai untuk x dengan kondisi yang diberikan di atas dinyatakan dengan

Koordinat x untuk puncak dari gelombang meningkat sebagai fungsi dari waktu t sebagaimana dapat dilihat pada Gambar 1.2.c. Karenanya gelombang ini akan bergerak menuju arah positif sepanjang sumbu-x. Karena kecepatannya, v dinyatakan dengan v = dx/dt, kita akan memperoleh

(1.4)

Dan dengan menggunakan persamaan 1.3, kita akan memperoleh

(1.5)

Ini adalah persamaan fundamental untuk sebuah gelombang. Sebuah gelombang dengan panjang gelombang λ, berosilasi v kali setiap detik akan mencapai sebuah posisi yang berjarak vλ, yang merupakan kecepatan dari gelombang ini. Untuk gelombang elektromagnetik atau cahaya, kecepatan gelombang v akan menjadi kecepatan cahaya c dan kita akan peroleh

(1.6)

Ini adalah persamaan fundamental untuk gelombang elektromagnetik.

Sebuah hubungan matematika untuk sebuah bilangan kompleks dengan sudut θ,

(1.7)

dapat digunakan untuk memperluas sebuah gelombang dengan frekuensi v dan panjang gelombang λ menjadi sebuah gelombang yang diekspresikan dengan sebuah fungsi eksponensial dengan sebuah nilai kompleks. Dengan menggunakan persamaan (1.7) dan juga θ = 2π(x/λ-t/T) = 2π(x/λ-vt) kita dapat memperoleh sebuah persamaan untuk bentuk ψ = Aexp(iθ).

(1.8)

Persamaan ini akan digunakan kemudian untuk memperkenalkan persamaan fundamental pada mekanika kuantum.

Contoh 1. 4. Sebuah molekul karbon dioksida menyerap radiasi infra merah dengan bilangan gelombang 667 cm-1 (bilangan gelombang didefinisikan sebagai jumlah gelombang untuk setiap satu satuan panjang sebesar 1 cm). Hitung panjang gelombang dan frekuensi dari gelombang ini.

(Jawaban) Dengan menggunakan hubungan λτ = 1 dan λv = c di mana bilangan gelombang dinyatakan dengan τ, panjang gelombang λ, frekuensi v dan kecepatan cahaya c, kita akan memperoleh λ = 1/ τ dan v = cτ. Dalam kasus ini radiasi infra merah dengan bilangan gelombang 667 cm-1,

Gambar 1.3 Klasifikasi dari gelombang elektromagnetik.

Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

1.4 Teori kuantum untuk energi

Konsep tentang material yang terdiri dari elemen-elemen kecil telah diterima secara umum dengan ditemukannya atom, elektron dan inti. Studi lanjut terhadap radiasi termal dan efek fotolistrik menunjukkan terdapat suatu satuan unit energi yang tidak dapat dibagi lagi dan disebut sebagai kuantum energi.

Fenomena pemancaran cahaya (gelombang elektromagnetik) dari suatu bahan yang dipanaskan pada suhu tinggi, seperti pada besi dalam sebuah tungku atau elemen pemanas pada kompor listrik dikenal sebagai radiasi termal. Radiasi termal dari sebuah benda hitam di mana benda hitam adalah sebuah contoh ideal tidak terjadinya pemantulan cahaya dan fenomena radiasi ini disebut sebagai radiasi benda hitam. Pengukuran spektroskopi terhadap intensitas gelombang elektromagnetik yang dipancarkan sebagai fungsi panjang gelombang λ, atau frekuensi v, menghasilkan bentuk karakteristik dari spektra tersebut. Spektra radiasi benda hitam pada suatu temperatur menunjukkan karakteristik tertentu dan perubahan bentuknya sangat bergantung pada temperatur dan ini dapat dilihat pada Gambar 1.4.

Panjang gelombang pada titik maksimum, λmaks bergeser menuju panjang gelombang pendek jika temperatur absolutnya dinaikkan. Perkalian antara λmaks dengan T adalah mendekati konstan.

(1.9)

Fenomena ini dikenal sebagai hukum pergeseran Wien.

Gambar 1.4 Spektra dari radiasi benda hitam.

Pada tahun-tahun yang dimulai dari akhir abad ke-19 hingga awal abad ke-20, tidak ada penjelasan teoritis yang dengan baik berhasil menjelaskan fenomena radiasi termal, meski terdapat beberapa usaha untuk menjelaskannya berdasarkan hukum-hukum fisika yang telah diketahui sebelumnya. Karenanya, bagi ahli fisika pada tahun-tahun itu, hal tersebut sangat membingungkan. Pada tahun 1900, Planck berhasil memperkenalkan sebuah konsep baru tentang sebuah kuantum energi yang menghasilkan perumusan yang dapat menjelaskan radiasi termal. Teori Planck ini memasukkan sebuah unit energi elementer yang berbanding lurus dengan frekuensi, v untuk setiap osilator dan mengijinkan energi dari osilator ini untuk diasumsikan sebagai perkalian bilangan bulat dari frekuensi v dan ditulis nhv. Ini adalah jumlah satuan energi minimum hv yang disebut sebagai kuantum energi dan h adalah konstanta Planck. Hasil eksperimen memberikan nilai h sebesar h = 6.6262 x 10-34 J.s.

Contoh 1. 5 Panjang gelombang maksimum radiasi termal dari sebuah kristal galium arsenida (GaAs) yang dipanaskan dalam suatu ruang vakum untuk menghasilkan semikonduktor adalah 5.0 μm pada 308oC. Hitung panjang gelombang maksimum ketika kristal dipanaskan pada suhu 400oC

(Jawaban) Hukum pergeseran Wien memberikan sebuah nilai dari hasil perkalian antara panjang gelombang maksimum λmaks dan temperatur absolut T sebagai berikut

λmaksT = (5,0μm)(308 + 273K) = 2905 μmK

Dengan demikian kita mendapatkan panjang gelombang maksimum pada suhu 400oC sebagai berikut

Konsep tentang kuantum energi kemudian oleh Einstein digunakan untuk menjelaskan efek fotolistrik dan dengan satuan minimum untuk energi hv untuk cahaya dengan frekuensi v disebut sebagai kuantum cahaya atau foton.

Efek fotolistrik adalah sebuah fenomena di mana sebuah elektron dilepaskan dari suatu bahan yang diberi pancaran cahaya, yang berarti juga penyerapan cahaya oleh bahan tersebut. Elektron yang dilepaskan disebut sebagai fotoelektron. Arus fotolistrik dari sebuah tabung fotolistrik diperoleh dengan meradiasi permukaan katoda, di mana studi ekstensif yang dilakukan oleh Lenard (Gambar 1.5) berhasil memperoleh gambaran yang menarik tentang efek fotolistrik.

Gambar 1.5 Hubungan antara arus foto dan tegangan balik dalam efek fotolistrik.

  1. Terdapat ambang panjang gelombang λt. Tanpa bergantung pada kekuatan intensitas cahayanya, ketika diberikan gelombang cahaya yang lebih panjang dari panjang gelombang minimum, tidak ada efek fotolistrik yang diamati (Gambar 1.6.a-b). Panjang gelombang minimum (λt atau λt’) berbeda untuk bahan katoda yang berbeda (Gambar 1.6.a) dan λt untuk alkali terletak pada panjang gelombang yang lebih panjang dibandingkan dengan logam-logam yang lain.
  2. Arus fotolistrik diamati seketika tepat setelah cahaya diberikan, bahkan jika intensitas cahaya yang diberikan sangat lemah (Gambar 1.6.c). Arus fotolistrik, i, berbanding lurus dengan intensitas cahaya, I (Gambar 1.6.b).
  3. Ketika tegangan listrik pemberhenti, V diberikan antara anoda dan katoda sedemikian hingga fotoelektron yang dilepaskan dari katoda akan dibalikkan sebelum mencapai anoda, arus fotolistrik akan menghilang pada suatu tegangan tertentu yang disebut sebagai Vmaks (Tegangan pemberhenti maksimum). Vmaks berhubungan dengan nilai maksimum dari energi kinetik dari fotoelekton, {(1/2)mv2}maks = Vmaks. Tegangan pemberhenti maksimum tidak akan berubah meskipun intensitas cahaya yang dikenakan pada katoda ditingkatkan. Tegangan pemberhenti maksimum bergantung pada material dan panjang gelombang yang lebih pendek (atau lebih besar frekuensinya) akan memberikan tegangan pemberhenti yang semakin besar (Gambar 1.6.d)

Gambar 1.6 Gambaran atas fenomena yang teramati dalam efek fotolistrik.

Gambaran yang diberikan oleh eksperimen fotolistrik ini tidak dapat dijelaskan dengan ide sederhana bahwa elektron dalam suatu bahan dapat dilepaskan dari bahan oleh suatu aksi dari gelombang elektromagnetik. Sebagai contoh, kecenderungan umum yang mengatakan bahwa aksi gelombang elektromagnetik akan semakin meningkat seiring dengan meningkatnya intensitas adalah hal yang kontradiktif dengan eksperimen (1). Dikarenakan intensitas cahaya yang rendah memiliki energi yang rendah dan tidak cukup untuk melepaskan sebuah elektron, maka sejumlah waktu tertentu diperlukan untuk d apat melepaskan sebuah fotoelektron setelah dilakukan proses iradiasi, dan ini tidak konsisten dengan hasil eksperimen (2). Disamping itu, cahaya yang intens nampaknya akan meningkatkan kecepatan fotoelektron adalah bertentangan dengan hasil eksperimen (3).

Pada tahun 1905, Einstein menunjukkan bahwa efek fotolistrik dapat dijelaskan secara konsisten dalam bentuk hukum kekekalan energi, yaitu bahwa sebuah foton dengan energi sebesar hv diserap untuk menghasilkan fotoelektron. Dikarenakan sejumlah kerja W diperlukan untuk melepaskan elektron dari suatu bahan, energi dari sebuah elektron dalam bahan Ein (Ein ≤ 0) seharusnya adalah sebesar -W, dengan suatu asumsi bahwa energi dari elektron diam yang bebas dari gaya eksternal ditetapkan sama dengan 0.

(1.10)

Besarnya W (W > 0) bergantung pada jenis dari bahan. W disebut sebagai fungsi kerja untuk sebuah logam dan berhubungan dengan energi ionisasi atau potensial ionisasi jika bahan yang mengeluarkan elektron tersebut adalah sebuah atom atau molekul. Energi kinetik dari sebuah fotoelektron yang dilepaskan dengan masa m dan kecepatan v dinyatakan sebagai ½mv2. Ketika sebuah elektron yang berada pada keadaan Ein = -W diberikan sebuah foton dengan energy hv maka dan kemudian akan dilepaskan sebagai fotoelektron maka hukum kekekalan energi akan memberikan persamaan berikut.

(1.11)

Pada bagian sebelah kiri dari persamaan di atas menunjukkan penjumlahan dari energi sebuah foton dan sebuah elektron dan bagian sebelah kanan menyatakan keadaan sebuah fotoelektron yang dikeluarkan dari bahan setelah menyerap sebuah foton. Energi kinetik dari fotoelektron pada sisi kanan dari persamaan (1.11) adalah positif dan dengan demikian hv ≥ W. Dengan menggunakan hubungan untuk kecepatan cahaya c dengan frekuensi v dan panjang gelombang λ, kita memperoleh

(1.12)

Ini menjelaskan alasan mengapa efek fotolistrik tidak dapat terjadi kecuali panjang gelombang cahayanya lebih kecil dari nilai ambang sebesar λ = hc/W.

Sebagaimana diindikasikan pada Tabel 1.1, fungsi kerja W adalah suatu nilai karakteristik dari bahan. Karenanya menjadi hal yang sangat dipahami bahwa nilai ambang panjang gelombang bervariasi dan bergantung pada masing-masing bahan dikarenakan sebuah fotoelektron diproduksi oleh sebuah foton, fotoelektron akan dilepaskan seketika bahkan jika intensitas cahayanya sangat rendah dan jumlah foton yang semakin besar yang diakibatkan oleh cahaya yang semakin intens akan mengakibatkan arus fotoelektron yang semakin membesar seiring dengan meningkatnya jumlah fotoelektron. Persamaan untuk kekekalan energi, eVmaks = hv – W , menjelaskan fakta eksperimental pada Gambar 1.6.d. Sehingga cahaya dengan frekuensi v kemudian dipahami sebagai foton yang bersifat sebagai partikel dengan energi karakteristi sebesar hv.

Contoh 1.6. Ambang panjang gelombang untuk sebuah plat tembaga ditentukan sebesar 255 nm dalam sebuah eksperimen fotolistrik. Carilah fungsi kerja untuk tembaga dalam satuan J atau eV.

(Jawaban) Rumus untuk efek fotoelektrik akan memberikan hubungan antara fungsi kerja dan ambang panjang gelombang λt.

Sehingga,

Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

1.5 Spektrum atom dan tingkat-tingkat energi

Pada pertengahan abad ke-19, studi tentang spektra cahaya yang dipancarkan dari pembakaran dan lecutan listrik pada gas telah menunjukkan karakteristik spektra atom dari unsur kimia. Pada masa awal abad ke-20, studi terhadap struktur dalam suatu atom telah berk embang dan menjelaskan mekanisme dari karakteristik spektra atom.

Lecutan listrik pada gas hidrogen memberikan spektrum atom hidrogen yang berupa garis-garis yang terang yang membentuk sebuah deret yang terdiri dari 4 panjang gelombang pada daerah cahaya tampak (400 ~ 800 nm); nilai panjang gelombang yang dikoreksi terhadap vakum adalah λ1 = 656,47 nm, λ2 = 486,28 nm, λ3 = 434,17 nm, λ4 = 410,29 nm. Pada tahun 1885, Balmer menemukan rumus berikut (Rumus Balmer), yang memenuhi panjang gelombang garis cahaya terang dari spektra.

(1.13)

Dengan λk adalah panjang gelombang dari garis ke-k untuk k = 1 ~ 4 dalam spktrum cahaya tampak dan garis-garis untuk k = 5 juga dapat diamati pada daerah ultraviolet. Sebuah deret garis spektral yang berhubungan dengan persamaan (1.13) disebut sebagai deret Balmer yang akan berkovergensi pada a = 3647 nm ketika k → ∞. Beberapa deret yang lain (Tabel 1.2) juga diamati pada daerah infra merah dan ultra violet. Deret-deret ini diketahui secara bersama-sama akan memenuhi rumus berikut (Rumus Rydberg).

(1.14)

Di sini m dan n adalah bilangan bulat positif, yang berkaitan dengan suatu garis spektral tertentu dan R adalah konstanta Rydberg. Rumus Rydberg ini dapat diaplikasikan tidak hanya pada garis spektra emisi akan tetapi juga pada spektra serapan (absorpsi), yang diamati sebagai hilangnya intensitas cahaya setelah melalui sampel.

Tabel 1.1 Fungsi kerja W untuk berbagai logam

Tabel 1.2 Deret garis spektral dari atom hidrogen

Contoh 1.7. Dengan menggunakan rumus Balmer dengan konstanta a = 364.7 nm dan dibandingkan dengan rumus Rydberg, tentukan konstanta Rydberg, R.

(Jawaban). Dengan merubah persamaan (1.14) menjadi persamaan yang memiliki bentuk yang sama dengan persamaan (1.13) kita akan mendapatkan

Sebuah perbandingan dengan persamaan ini terhadap persamaan (1.13) akan diketahui bahwa n = 2, m = k + 2 dan

Sehingga kita akan memperoleh

Marilah kita meninjau pentingnya rumus Rydberg berdasarkan teori kuantum yang diperkenalkan oleh Planck dan Einstein. Hakekat dari proses absorpsi atau emisi cahaya (gelombang elektromagnetik) adalah sebuah proses yang memberikan atau menerima foton hv, di mana hukum kekekalan energi selalu harus dipenuhi. Dengan mengalikan pada kedua sisi di persamaan (1.14) dengan hc dan dengan menggunakan hubungan c = vλ, energi foton hv yang terlibat pada saat penyerapan dan pemancaran cahaya dapat dinyatakan sebagai perbedaan antara dua suku berikut

(1.15)

Dalam hubungannya dengan interpretasi efek fotolistrik yaitu bahwa keseimbangan energi dari sebuah elektron adalah sama dengan hv, setiap suku baik dikiri maupun dikanan pada persamaan (1.15) berkaitan dengan energi dari keadaan elektron sebelum atau sesudah proses penyerapan atau pemancaran cahaya. Dikarenakan energi sebuah elektron yang ditangkap dalam material adalah negatif sebagaimana dalam kasus pada persamaan (1.10), sebuah rumus untuk tingkat energi dari sebuah elektron dalam atom hidrogen dapat diperoleh sebagai berikut,

(1.16)

Di mana n adalah bilangan bulat positif 1, 2, 3,…. Dengan menggunakan persamaan ini untuk tingkat-tingkat energi, persamaan (1.15) dapat diperluas dalam bentuk sebagai berikut dengan asumsi bahwa En > Em.

(1.17)

Gambar 1.7 Penyerapan dan pemancaran cahaya dan kondisi dari frekuensi Bohr.

Sebagaimana ditunjukkan oleh anak panah pada Gambar 1.7, pada saat penyerapan cahaya sebuah elektron akan terangkat dari tingkat energi yang lebih rendah ke tingkat energi yang lebih tinggi dan pada saat pelepasan cahaya sebuah elektron akan turun dari tingkat energi yang lebih tinggi ke tingkat yang lebih rendah. Persamaan (1.17) akan menjadi persamaan berikut untuk frekuensi v.

(1.18)

Persamaan ini pertama kali diusulkan oleh N.H.D. Bohr pada tahun 1913 dan disebut sebagai kondisi frekuensi Bohr. Sekarang marilah kita memperhatikan arti dari persamaan (1.16) dan Gambar 1.7. Tingkat keadaan elektron pada n = 1 adalah tingkat energi terendah dan disebut sebagai keadaan dasar. Tingkat yang lebih tinggi n ≥ 2 disebut sebagai keadaan tereksitasi. Dalam tingkat n → ∞ energi elektron menjadi 0, dan elektron akan dilepaskan dari gaya tarik-menarik oleh inti. Hal ini berkaitan dengan keadaan ionik (keadaan terionisasi) di mana sebuah proton dan sebuah elektron pada atom dipisahkan pada jarak tak berhingga. Karenanya pula keadaan terionisasi dari sebuah atom hidrogen WH diberikan oleh persamaan berikut ini.

(1.19)

Contoh 1.8. Dengan menggunakan nilai dari konstanta Rydberg R yang diperoleh dari persamaan dalam contoh 1.7, dapatkan energi ionisasi dari atom hidrogen WH dalam satuan J, eV dan J.mol-1.

(Jawaban) Persamaan (1.19) memberikan WH = Rhcdan kita mendapatkan

Untuk 1 mol,

Gambar 1.8 Tingkat energi dan spektra dari atom hidrogen.

Pada tahun 1911, E. Rutherford mengusulkan sebuah model dari struktur atom yang didasarkan pada studi eksperimen tentang partikel α (aliran atom helium) yang dihamburkan oleh lembaran tipis logam seperti lembaran tipis emas. Pada model ini, sebuah atom hidrogen terdiri atas sebuah proton dan sebuah elektron yang berkeliling di sekitar proton.

Gambar 1.9 Model atom Bohr.

Bohr berhasil menurunkan persamaan untuk tingkat energi dari atom hidrogen pada tahun 1913 dengan memperkenalkan suatu ide baru dalam sistem fisis dari sebuah elektron yang bergerak di sekitar proton pada jarak yang konstan dengan radius r. Gerak melingkar dari sebuah elektron dengan kecepatan v di sekitar sebuah proton dengan radius r memberikan persamaan berikut yang menghubungkan gaya listrik dari hukum Coulomb dan gaya sentripetal dari gerak melingkar.

(1.20)

Di sini, bagian sisi kiri dari persamaan di atas adalah gaya Coulomb dan bagian sisi kanan adalah gaya sentripetal. Secara umum, gaya sama dengan (masa) x (percepatan), berdasarkan hukum Newton tentang gerak. Dalam kasus ini, masa adalah masa elektron m, dan gaya sentripetal adalah v2/ r . Bohr mengasumsikan sebuah kondisi kuantum yang meminta sebuah produk operasi antara momentum (masa, m x kecepatan, v) dengan keliling lingkaran (2πr) sebagai perkalian konstanta Planck, h dengan bilangan bulat.

(1.21)

Jika kondisi ini tidak dipenuhi, sistem tidak akan dapat berada pada kondisi yang stabil. Dari persamaan (1.20) dan (1.21), radius dari orbit lingkaran dalam keadaan stasioner diturunkan sebagai berikut,

(1.22)

Di sini, aB = ε0 h2 / πme2adalah radius orbital dalam keadaan stasioner pada n = 1 dan disebut sebagai radius Bohr. Nilai dari aB adalah 5.292 x 10-11 m dan jarak ini dapat ditinjau sebagai ukuran dari sebuah atom hidrogen. Energi total E dari sebuah elektron adalah penjumlahan dari energi kinetik mv2/2 dan energi potensialnya U. Energi potensial U(r) dari sebuah elektron di bawah pengaruh gaya Coulomb dalam suku sisi kiri pada persamaan (1.20) dapat diperoleh sebagai berikut. Energi potensial pada jarak tak berhingga U(∞) diambil sama dengan 0 sebagai energi referensi. Kemudian kerja yang diperlukan untuk memindahkan elektron dari jarak r ke jarak tak berhingga terhadap gaya tarik-menarik Coulomb adalah sama dengan U (∞) – U (r )

Dengan menggunakan persamaan (1.20), persamaan energi diperoleh menjadi

Dengan mensubstitusi persamaan (1.22) untuk r, kita mendapatkan sebuah persamaan untuk tingkat energi ke-n, En sebagai berikut

(1.23)

Dengan melakukan perbandingan antara persamaan ini dan persamaan (1.16) kita memperoleh perhitungan teoritis dari konstanta Rydberg, R.

(1.24)

Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

.

1.6 Partikel dan sifat gelombang

Berdasarkan ide yang dikemukakan oleh Einstein, sebuah foton dengan energi hv (frekuensi v dan panjang gelombang λ) memiliki momentum linear searah dengan arah pergerakannya dan dengan besarannya p yang dinyatakan sebagai berikut

(1.25)

Pada tahun 1923, A. H. Compton membenarkan ide ini dengan menggunakan eksperimen hamburan sinar-X dan elektron. Sehingga, perilaku sebuah foton yang memiliki momentum sebesar h/λ dan energi hv dapat diketahui. Pada tahun 1923, de Broglie mempostulasikan bahwa sebuah partikel dapat memiliki panjang gelombang yang berkaitan dengan momentum yang ia miliki melalui persamaan (1.25) di mana momentum dan panjang gelombang adalah saling berhubungan satu dengan yang lainnya dan sebaliknya. Sifat gelombang dari sebuah elektron disebut sebagai gelombang elektron dan secara umum sifat gelombang dari materi disebut sebagai gelombang materi atau gelombang de Broglie. Panjang gelombang λ untuk gelombang materi diberikan oleh persamaan berikut, di mana juga ekivalen dengan persamaan (1.25).

(1.26)

Hubungan ini dikenal sebagai hubungan de Broglie.

Gambar 1.10 Titik Laue dari kalsium karbonat (diberikan oleh Rigaku Denki).

Contoh 1. 9. Hitung panjang gelombang dari sebuah berkas elektron yang mengalami akselerasi dari 0 V hingga 150 V.

(Jawaban) Energi kinetik, E adalah energi yang diperoleh melalui percepatan yang dihasilkan oleh beda potensial yang diberikan yaitu sebesar 150 V.

Secara umum, terdapat persamaan-persamaan berikut untuk elektron yang memiliki masa m, kecepatan v, momentum p dan energi kinetik E.

Dengan menggunakan hubungan de Broglie λ = h/p, kita akan mendapatkan

(Sebuah rumus yang berguna untuk mendapatkan panjang gelombang λ dari sebuah gelombang elektron dengan energi kinetik Z eV diberikan oleh λ = √150/Z x 10 -10 m ). Bintik yang indah yang ditunjukkan pada Gambar 1.10 diamati oleh M. T. F. Laue pada tahun 1912 ketika gelombang sinar-X dipancarkan melalui sebuah kristal. Ini menunjukkan proses difraksi oleh sinar-X yang memiliki perilaku sebagai gelombang elektromagnetik. Gelombang sinar-X yang dipantulkan oleh susunan yang teratur dari atom-atom yang terpisah dengan jarak d (Gambar 1.11) akan mengalami penguatan jika kondisi berikut dipenuhi

(1.27)

Ini disebut sebagai kondisi Bragg untuk refleksi (Hukum Bragg) dan n disebut sebagai orde refleksi.

Gambar 1.11 Difraksi sinar-X oleh kisi kristal.

Hal yang sama, gelombang elektron telah dikonfirmasi dengan eksperimen bahwa ia menunjukkan fenomena difraksi terhadap susunan atom-atom yang teratur pada kristal. Hal ini ditunjukkan oleh C. J. Davisson dan L. H. Germer pada tahun 1925 dan juga oleh G. P. Thompson pada tahun 1927. Bentuk dari difraksi elektron ditunjukkan pada gambar 1.12. Distribusi spasial yang tidak homogen yang dibentuk oleh interferensi gelombang elektron sangat berhubungan erat dengan pembentukan dan penghancuran ikatan kimia.

Gambar 1.12 Pola difraksi elektron dari polikristalin emas.

Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

Ditulis dalam uncategorized | Sunting | Tinggalkan sebuah komentar »

ASAM BASA ORGANIK

Oktober 18, 2008 oleh ebenbohr

KEASAMAN DARI ASAM ORGANIK

Halaman ini menjelaskan keasaman dari asam organik sederhana dan faktor-faktor yang mempengaruhi kekuatan relatifnya.

Mengapa asam organik asam?

Asam organik sebagai asam lemah

Sebagai tujuan dari topik ini, kita akan melihat definisi dari asam sebagai “substansi yang memberi ion (proton) ke yang lain”. Dapat dilihat bagaimana mudahnya asam melepas ion hidrogen ke molekul air saat mereka larut dalam air.

Asam pada larutan memiliki kesetimbangan sebagai berikut:

Sebuah atom hidroksinium dibentuk bersama-sama dengan anion (ion negative) dari asam.

Persamaan ini kadang-kadang disederhanakan dengan menghilangkan air untuk menekankan ionisasi dari asam.

Jika anda menuliskan seperti ini, anda harus memasukkan simbok – “(aq)”. Dengan menuliskan H+(aq) mengartikan bahwa molekul hidrogen berikatan dengan air sebagai H3O+. Ion hidrogen selalu berikatan dengan sesuatu pada saat reaksi kimia.

Maksud dari asam organik merupakan asam lemah adalah karena ionisasi sangat tidak lengkap. Pada suatu waktu sebagian besar dari asam berada di larutan sebagai molekul yang tidak terionisasi. Sebagai contoh pada kasus asam etanoik, larutan mengandung 99% molekul asam etanoik dan hanya 1 persen yang benar benar terionisasi. Posisi dari kesetimbangan menjadi bergeser ke arah kiri.

Membandingkan kekuatan asam lemah

Kekuatan asam lemah diukur dengan skala pKa. Semakin kecil semakin kuat tingkat keasamannya.

Dibawah ini merupakan 3 buah senyawa dan nilai pKa mereka.

Ingat semakin kecil pKa semakin tinggi tingkat keasaman. Bandingkan dengan dua asam etanoik yang lain anda akan melihat bahwa phenol sangat lemah dengan pKa 10.00, dan etanol lebih lemah lagi pKa sekitar16 sehingga tidak dapat dianggap lagi sebagai asam.

Mengapa asam-asam tersebut asam?

Dalam setiap kasus, ikatan antara oksigen dan oksigen pada -OH terputus. Sehingga hanya sisa molekul yang dilambangkan sebagai “X”:

Jadi bila ikatan yang sama putus dalam setiap kasus, mengapa ketiga contoh senyawa diatas menghasilkan tingkat asam yang berbeda beda?

Perbedaan kekuatan asam antara asam karboksilat, fenol dan alkohol.

Faktor-faktor yang harus diperhatikan

Dua faktor yang mempengaruhi ionisasi dari asam adalah:

  • Kekuatan dari ikatan yang diputuskan,
  • kestabilan ion yang terbentuk.

Dalam kasus ini, anda memutus ikatan dari molekul yang sama (antara O dan H) jadi bisa dianggap kekuatan ikatan yang diputuskan adalah sama.

Faktor yang paling penting dalam menentukan kekuatan relatif dari molekul adalah pada sifat dari ion ion yang terbentuk.Anda selalu mendapatkan ion hidroksinium jadi anda tidak perlu membandingkan itu. Yang perlu andabandingkan adalah sifat dari anion (ion negatif) yang berbeda-beda pada setiap kasus.

Asam Etanoik

Asam etanoik memiliki struktur:

Hidrogen yang mengakibatkan sifat asam adalah hidrogen yang terikat dengan oksigen. Saat asam etanoik terionisasi terbentuklah ion etanoat, CH3COO. Anda mungkin menyangka bahwa struktur dari ion etanoat adalah seperti dibawah ini, namun dari pengukuran panjang ikatan menunjukkan bahwa ikatan karbon dengan kedua oksigen memiliki panjang yang sama. Dengan panjang berkisar antara panjang ikatan tunggal dan ikatan rangkap..

Untuk menjelasakan mengapa, anda harus melihat ikatan ion etanoat secara detail.

Sama seperti ikatan rangkap yang lain, ikatan karbon oksigen dibuat di dua bagian yang berbeda. Sepasang elektron ditemukan pada garis diantara dua nukleus yang disebut sebagai ikatan sigma. Sepasang elektron yang lain ditemukan diatas dan dibawah dari bidang dalam bentuk ikatan pi. Ikatan pi dibuat dari overlap orbital p antara karbon dan oksigen.

Pada ion etanoat, Salah satu dari elektron bebas dari oksigen yang negarif berada pada keadaan hampir pararel dengan orbita;-orbital p tersebut dan mengakibatkan overlap antara atom oksigen yang lain dan atom karbon .

Sehingga terjadi delokalisasi sistem pi dari keseluruhan -COO namun tak seperti yang terjadi pada benzene.

Semua atom bebas dari oksigen telah di hilangkan dari gambar untuk lebih sederhana.

Karena Hidrogen lebih elektronegatif dari karbon, delokalisasi sistem terjadi sehingga elektron lebih lama berada pada daerah atom oksigen.

Lalu dimana letak muatan negatif dari keseluruhan molekul? Jwabannya adalah tersebar diantara keseluruhan molekul -COO ,namun dengan kemungkinan terbesar menemukannya pada daera antara kedua atom oksigen.

Semakin anda menyebarkan muatan, semakin stabil sebuah ion. Atau pada kasus ini, jika anda mendelokalisasikan muatan negatif ke beberapa atom, muatan tersebut akan menjadi lebih tidak tertarik ke ion hidrogen kecenderungan membentuk ulang asam etanoik pun berkurang.

Ion etanoat dapat digambarkan secara sederhana sebagai:

Garis putus-putus mewakili delokalisasi. Muatan negatif ditulis ditengah untuk menggambarkan bahwa muatan tersebut tidak terlokalisasi pada salah satu atom oksigen.

Fenol

Fenol memiliki -OH terikat pada rantai benzennya.

Saat ikatan hidrogen-oksigen pada fenol terputus, anda mendapatkan ion fenoksida , C6H5O.

Delokalisai juga terjadi pada ion ini. Pada saat ini, salah satu dari antara elektron bebas dari atom oksigen overlap dengan elektron dari rantai benzen.

Overlap ini mengakibatkan dislokalisasi. Dan sebagai hasil muatan negatif tidak hanya berada pada oksigen tetapi tersebar ke seluruh molekul.

Lalu mengapa fenol lebih lemah daripada asam etanoik? Pada ion etanoat, delokalisasi terpusat pada daerah antara 2 atom oksigen.Sistem yang terdelokalisasi membagi muatan negatif diantara kedua atom oksigen. Tidak ada oksigen yang lebih kuat menarik hidrogen ion.

Pada ion fenoksida, atom oksigen tunggal masih merupakan yang paling elektronegatif dan sistem yang terdelokalisasi terpusat pada daerah oksigen tersebut. Sehingga atom oksigen memiliki muatan yang paling negatif, walaupun sebenarnya tidak memiliki muatan sebanyak itu apabila delokalisasi tidak terjadi.

Delokalisasi membuat ion fenoksida lebih stabil dari seharusnya sehingga fenol menjadi asam. Namun delokalisasi belum membagi muatan dengan efektif. Muatan negatif disekitar oksigen akan tertarik pada ion hidrogen dam membuat lebih mudah terbentuknya fenol kembali. Sehingga itu fenol merupakan asam yang sangat lemah.

Etanol

Etanol, CH3CH2OH, merupakan asam yang sangat lemah sampai sampai-sampai anda bisa menganggapnya bukan sebagai asam. Jika ikatan oksigen dan hidrogen terputus dan melepaskan ion, ion etokside terbentuk.

Tidak ada cara untuk mendelokalisasi ikatan negatif yang terikat kuat dengan atom oksigen. Muatan negatif tersebut akan sangat menarik atom hidrogen dan etanol akan dengan mudah terbentuk kembali.

Variasi dalam kekuatan asam dari beberapa asam karboksilik.

Anda mungkin akan berpikir bahwa semua asam karboksilik mempunyai kekuatan yang sama karena memiliki delokalisasi yang sama di sekitar -COO untuk membuat ion lebih stabil dan lebih tidak mudah terikat dengan ion hidrogen.

Namun kenyataan yang ada asam karboksilik memiliki berbagai variasi keasaman.

pKa
HCOOH 3.75
CH3COOH 4.76
CH3CH2COOH 4.87
CH3CH2CH2COOH 4.82

Perlu diingat bahwa semakin tinggi pKa, semakin lemah sebuah asam. Mengapa asam etanoik lebih lemah dari adam metanoik? Semuanya tergantung pada stabilitas dari anion yang terbentuk. Kemungkinan untuk mendislokalisasikan muatan negatif. Semakin terdislokalisasi, semakin stabil ion tersebut dan semakin kuat sebuah asam.

Ion metanoat dari asam metanoik:

Satu-satunya perbedaan antara ini dan ion etanoat adalah kehadiran CH3 pada etanoat. Alkil mempunyai kecenderungan mendorong elektron menjauh sehingga betambahnya muatan negatif pada -COO . Penambahan muatan membuat ion lebih tidak stabil karena membuatnya lebih mudah terikat dengan hidrogen. Sehingga asam etanoik lebih lemah daripada asam metanoik.

ALkil yang lain juga memiliki efek “mendorong elektron” sama seperti pada metil sehingga kekuatan asam propanoik dan asam butanoik mirip dengan asam etanoik.

Asam dapat diperkuat dengan menarik muatan dari -COO . YAnda dapat melakukan hal ini dengan menambahkan atom elektronegatif seperti klorida pada rantai.

Pada tabel berikut, diperlihatkan semakin anda mengikatkan klorin semakin asam molekul.

pKa
CH3COOH 4.76
CH2ClCOOH 2.86
CHCl2COOH 1.29
CCl3COOH 0.65

Asam Trikloroetanoik Tmerupakan asam yang cukup kuat.

Mengikatkan halogen yang berbeda juga membuat perbedaan. Florin merupakan atom paling elektronegatif sehingga anda dapat menebak bahwa dengan florin semakin tinggi tingkat keasaman.

pKa
CH2FCOOH 2.66
CH2ClCOOH 2.86
CH2BrCOOH 2.90
CH2ICOOH 3.17

Dan yang terakhir perhatikan juga efek yang terjadi dengan semakin mnjauhnya halogen dari -COO .

pKa
CH3CH2CH2COOH 4.82
CH3CH2CHClCOOH 2.84
CH3CHClCH2COOH 4.06
CH2ClCH2CH2COOH 4.52

Atom klorin efektive saat berdekatan dengan -COO dan efeknya berkurang dengan semakin jauhnya atom klorin.
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

BASA ORGANIK

Halaman ini menjelaskan tentang senyawa basa sederhana dan mengapa mereka basa.

Mengapa amin primer basa?

Amonia sebagai basa lemah

Banyak senyawa mengandung amonia dan kali ini kita akan membahas sifat dasar ddari amonia.

Untuk itu, kita defenisikan basa sebagai “substansi bergabung dengan ion hidrogen (protons)”. Kita akan melihat bagaimana basa mengambil ion hidrogen dati molekul air saat larut dalam air.

Amonia dalam larutan berada dalam kesetimbangan seperti berikut.

Sebuah ion amonium dibentuk bersama dengan ion hidroksida. Karena amonia merupakan basa lemah, keadaan ion tidak lama dan kembali lagi ke keadaan semula. Kesetimbangan bergeser ke arah kiri.

Amonia bereaksi sebagai basa karena adanya pasangan bebas yang aktif dari nitrogen, Nitrogen lebih elektronegatif dari hidrogen sehingga menarik ikatan elekton pada molekul amonia kearahnya. Atau dengan kata lain dengan adanya pasangan bebas terjadi muatan negatif sekitar atom nitrogen. Kombinasi dari negatifitas ekstra tersebut dan daya tarik pasangan bebas, menarik hidrogen dari air.

Membandingkan kekuatan dari basa lemah

Kekuatan dari basa lemah diukur dengan skala pKb . Semakin kecil nilai skala ini semakin kuat sebuah basa.

Tiga senyawa akan kita lihat beserta dengan nilai pKb mereka.

Anda dapat lihat kalau metilamin merupakan basa kuat dimana fenilamin jauh lebih lemah.

Metilamin merupakan tipikal dari amin alipatik primer. Dimana NH2 terikat pada rantai karbon. Semua Amin primer alipatik merupakan basa yang lebih kuat dari amonia.

Phenylamine is typical of aromatic primary amines – where the -NH2 group is attached directly to a benzene ring. These are very much weaker bases than ammonia.

Menjelaskan perbedaan kekuatan basa

Hal yang perlu dipikirkan

Dua faktor yang mempengaruhi kekuatan dari sebuah basa adalah:

  • Kemudahan pasangan bebas mengikat ion hidrogen,
  • kestabilan dari ion yang terbentuk.

Mengapa Amin primer alipatik merupakan basa yang lebih kuat dari amonia?

Metilamin

Metilamin memiliki struktur:

Perbedaannya dengan amonia hanyalah adanya CH3 pada metil amin. Golongan alkil memiliki kecenderungan untuk mendoron elektron menjauh dari mereka. Ini berarti akan adanya sejumlah muatan negatif tambahan disekitar atom nitrogen. Muatan negatif tambahan tersebut membuat pasangan bebas lebih menarik atom hidrogen.

Semakin negatif nitrogen semakin mudah terikatnya ion hidrogen.

Lalu bagaimana dengan saat ion metil telah terbentuk, apakah ini lebih stabil daripada ion amonium?

Bandingkan ion metilamonium dengan ion amonium.

Pada ion metilamonium, muatan positif tersebar disekitar ion dari efek “dorongan elektron” metil. Semakin anda menyebar muatan tersebut, semakin stabil sebuah ion. Namun pada ion amonium tidak ada cara untuk menyebarkan ion positif.

Ringkasan:

  • Nitrogen lebih negatif di metilamin daripada di amonia, sehingga mengikat hidrogen lebih aktif.
  • Ion yang terbentuk di metilamin lebih stabil dari ion yang terbentuk dari amonia, sehingga lebih sulit berubah ke bentuk ion hidrogen lagi..

Kesimpulan: metilamin merupakan basa yang lebih kuat dari amonia.

Amin primer alifatik yang lain

Alkil yang lain memiliki efek “dorongan elektron” sama seperti metil, sehingga kekuatan asam alifatik yang lain sangat mirip denga metilamin.

Sebagai contoh:

pKb
CH3NH2 3.36
CH3CH2NH2 3.27
CH3CH2CH2NH2 3.16
CH3CH2CH2CH2NH2 3.39

Mengapa amin primer aromatik merupakan basa yang lebih lemah dari amonia?

Amin primer aromatik merupakan senyawa dimana -NH2 terikat secara langsung pada cincin benzen. Yang mungkin akan sering anda temui adalah fenilamin.

Fenilamin memiliki struktur:

Pasangan bebas dari nitrogen menyentuh cincin elektron yang terdelokalisasi…..

. . . dan menjadi terdelokalisasi bersama.

Ini berarti bahwa pasangan bebas tidak lagi penuh untuk bergabung dengan ion hidrogen. Nitrogen masih merupakan atom yang paling elektronegatif pada molekul dan karena itu elektron yang terdelokalisasi akan mendekat ke arah itu, namun intensitas dari muatan disekitar nitrogen tidak seperti seperti pada didalam molekul.
Gunakan fasilitas pencarian kata dibawah ini untuk mencari kata di chem-is-try.org

6 Tanggapan to “28. METODE APROKSIMASI”

  1. dyah arum Says:

    wah terima kasih sekali infonya, kalau boleh tahu ini seumbernya/daftar pustakanya dari mana ya? nuhun🙂

  2. junianataslima Says:

    thanks a lot sir for helping me study🙂

  3. gisnawirdya Says:

    makasih pak atas info nya, ini dapat membantu sya dalam banyak hal

  4. selvyanyayu Says:

    terima kasih pak atas informasinya, info ini sangat membantu sekali dalam proses apapun.

  5. devydestiani Says:

    trimakasih Pak atas ilmu yang telah bapak berikan🙂

  6. putudarmawan Says:

    Terimakasih atas infonya pak
    semoga ilmu ini dapat saya manfaatkan dgn baik
    dan dapat mmbntu saya ke dpannya

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s


%d blogger menyukai ini: